2001 年数学 II ・ B 問題

第一問 (必答 30 点)

[1] (1) 0° < θ < 90° とする。

であり, これらを用いて tan 15° を求めると
　　　tan 15° = [キ] - √[ク]
である。

(2) θ が 15° ≦ θ ≦ 60° の範囲を動くとき, tan θ + 1/tan θ は
　　　θ = [ケコ]° のとき最小値 [サ],
　　　θ = [シス]° のとき最小値 [セ]
をとる。

[2] 方程式の解 x を求めよう。
　　　　　　 ……………… ①
と置くと, X の方程式
　　　　　　[ソ]X² + [タ]X - 1 = 0
が得られる。
　一方, ① より X > [チ] である。従って X = [ツ]/[テ] を得る。これから求める x は x = [ト] log₂[ナ] となる。

第二問 (必答 30 点)

[1] 座標平面に於いて放物線 y = x² を C とする。第一象限の点 P(a, a²) における C の接線 l と y 軸との交点 Q の座標は (0, [ア]a^[イ]) である。 l と y 軸の成す角が 30° となるのは a = (√[ウ])/[エ] のときである。このとき線分 PQ の長さは √[オ] であり, Q を中心とし線分 PQ を半径とする円と放物線 C とで囲まれてできる二つの図形のうち小さい方の面積は π/[カ] - (√[キ])/[ク] である。

[2] 函数 y = 3sin θ - 2sin³ θ (0° ≦ θ ≦ 210°) の最大値と最小値を求めたい。そのため sin θ = x と置くと, y は
　　　y = 3x - 2x³
と表される。 x の動く範囲は [ケコ]/[サ] ≦ x ≦ [シ] であるから, y は x = 1/√[ス] のとき最大値 √[セ] をとり, x = [ソタ]/[チ] のとき最小値 [ツテ]/[ト] をとる。

θ の函数としては, y は θ = [ナニ]° 及び [ヌネノ]° のとき最大, θ = [ハヒフ]° のとき最小である。

以下の第三問から第六問までは選択問題である。 2 問のみ選択して答えること。

第三問 (選択 20 点)

HP 管理者の注: 本問ではベクトルを太字の斜体で表している。

四面体の四つの頂点を O, L, M, N とする。線分 OL を 2 : 1 に内分する点を P とし, 線分 MN の中点を Q とする。 a と b を 1 より小さい正の実数とする。線分 ON を a : (1 - a) に内分する点を R とし, 線分 LM を b : (1 - b) に内分する点を S とする。 l = OL, m = OM, n = ON と置く。

(1) RS = ([ア] - [イ])l + [ウ]m - [エ]n
　　RP = ([オ]/[カ])l - [キ]n
　　RQ = ([ク]/[ケ])m + ([コ]/[サ] - [シ])n
が成立する。

(2) 以下 l = (1, 0, 0), m = (0, 1, 0), n = (0, 0, 1) の場合を考える。

点 S が三点 P, Q, R の定める平面上にあるとする。このとき, RS は実数 x, y を用いて RS = xRP + y RQ と表せる。これより
　　x = ([ス]/[セ]）（1 - b), y = [ソ]b
となり, a と b は
　　[タチ] + [ツ] - [テト] = 0
を満たすことが分かる。更に, RP と RQ が垂直になるのは
　　a = [ナ]/[ニ], b =[ヌ]/[ネ]
のときであり, このとき PQ と RS の内積は PQ・RS = [ノハヒ]/[フヘ] となる。

第四問 (選択 20 点)

(1) 方程式 z³ = 2 + 2i ……………… ① を解こう。
複素数 2 + 2i を極形式で表すと
　　　2 + 2i = [ア]√[イ](cos [ウエ]° + i sin[ウエ]°)
となる。
　　　z = r(cos θ + i sin θ)
と置き, ① を満たす r, θ (r > 0. 0° ≦ θ < 360°) を求めると,
　　　r = [オ], θ =[カキ]°, [クケコ]°, 255°
となる。従って, 複素数平面上の第二象限にある ① の解は -[サ] + i である。

(2) 次に方程式 z⁶ - 4z³ + 8 = 0 ……………… ② の解について考えよう。 ② は (z³ - 2)² = -[シ], 即ち z³ = 2± [ス]i となるから, (1) と同様に考えると, 第二象限にある ② の解は (1) で求めた -[サ] + i と ([セ] - √[ソ])/[タ] + (([チ] + √[ツ])/[テ])i の二個であり, 他の解は第一象限に一個, 第三象限に [ト] 個, 第四象限に [ナ] 個存在する。

出題者の注: この問題において複素数平面の象限とは, 実軸を x 軸, 虚軸を y 軸とした座標平面に於ける象限のことをいう。

第五問 (選択 20 点)

一枚の硬貨を三回投げ, 表が出た回数を X とする。次に骰子 (さいころ) を X 回振る。 (例えば X = 2 ならば, 骰子を二回振ることになる。) そうして, 1 又は 2 の目が出た回数を Y とする。但し, X = 0 の場合は, Y = 0 と決める。

(1) X = 2 のとき, Y の取り得る値は [ア] 通りである。

(2) X = 2 となる確率は [イ]/[ウ] である。 X = 2 という条件のもとで, Y = 1 となる条件付確率は [エ]/[オ] である。従って, X = 2, Y = 1 となる確率は [カ]/[キ] である。同様にして X = 1, Y = 1 となる確率は 1/8 であり, X = 3, Y = 1 となる確率は 1/18 である。従って, Y = 1 となる確率は [クケ]/[コサ] である。

(3) (2) と同様に計算すると Y = 2 となる確率は 5/72 であり Y = 3 となる確率は 1/216 である。従って, Y = 0 となる確率は [シスセ]/[ソタチ] である。

(4) Y の平均 (期待値) は [ツ]/[テ] である。

(5) Y = 0 という条件のもとで, X = 2 となる条件付確率は [トナ]/[ニヌネ] である。

第六問 (選択 20 点)

正の整数 a₁, a₂, c が与えられたときに, s₁ = a₁ とし,
　　　s_i = s_i-1 + a_i　　　　　　　　　　　　　　(i = 2, 3, ...) …… ①
　　　a_i+2 = a_i+1 + ((s_i/c) の整数部分)　 (i = 2, 3, ...) …… ②
によって得られる数の列, a₃, a₄, ..., a_n を表示させる為に, 次のようなプログラムを作ってみた。

以下のプログラムにおいて INT(X) は X を超えない最大の整数を与える函数である。


100	INPUT "a1, a2, c ="; A, B, C
110	INPUT "n ="; N
120	S = A
130	FOR J = 3 TO N
140		A = B + INT(S/C)
150		PRINT "a("; J; ") = "; A
160		B = A
170		S = S + A
180	NEXT J
190	END

このプログラムが意図通りに動作するかどうか確かめてみる。

(1) このプログラムを実行し, a1, a2, c = ? に対して 1, 1, 1 を入力し, n = ? に対して 6 を入力すると
　　　a(3) = [ア] a(4) = [イ] a(5) = [ウエ] a(6) = 34
が表示される。又, a(6) が表示される直前の S の値は [オカ] である。

(2) 次に, 定義の式 ①, ② に従って計算してみる。 a₁ = 1, a₂ = 1, c = 1 とすると
　　　a3 = [キ], a4 = [ク], a5 = [ケ], a6 = [コサ], ...
となる。

(3) (1), (2) よりプログラムのどこかに誤りがあることが分かった。このプログラムの 160 行, 170 行を修正して, 初めに意図したように動かしたい。


130	FOR J = 3 TO N
140		A = B + INT(S/C)
150		PRINT "a("; J; ") = "; A
160		[シ]
170		[ス]
180	NEXT J

の [シ], [ス] に当てはまるものを, 次の 0～9 の内から一つずつ選べ。

0. A = B　　　　1. B = A　　　2. A = A + 1　　　3. B = B + 1　　　4. S = S + A
5. S = S + B　6. S = A　　　7. S = A + B　　　8. S = S + 1　　　9. S = B + 1

(4) (3) のように修正したプログラムを実行し, a1, a2, c = ? に対して 1, 1, 2 を, n = ? に対して 6 を入力するとき, a(6) が表示される直前の B の値は [セ] である。

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