2006 年 数学 I ・ A 問題

Sunday, 29th January, 2006.
11:15 -- 12:15 (1hr)
平均 62.36


第一問 (25 点)

[1] 二次方程式 x2 - 3x - 1 = 0 の解が α, β で, α > β とするとき

α = ([ ア ] + √[ イウ ])/2, β = ([ ア ] + √[ イウ ])/2

である。 又

m < α < m + 1 を満たす整数 m の値は [ エ ],
n < β < n + 1 を満たす整数 n の値は [ オカ ]

である。

次に,

α + 1/α = √[ キク ],

であり,

α3 + 1/α3 = [ ケコ ][ サシ ]

である。

[2] a は実数とし, b は 0 でない実数とする。 a と b に関する条件 p, q, r を次のように定める。

p: a, b は共に有理数である。
q: a + b, ab は共に有理数である。
r: a/b は有理数である。

(1) 次の [ ス ] に当てはまるものを, 下の 0 から 3 のうちから一つ選べ。

条件 p の否定`p は [ ス ] である。

0 「a, b は共に有理数である」
1 「a, b は共に無理数である」
2 「a, b の少なくとも一方は有理数である」
3 「a, b の少なくとも一方は無理数である」

(2) 次の [ セ ] に当てはまるものを, 下の 0 から 3 のうちから一つ選べ。

条件 「q 且つ r」 は条件 p が成り立つ為の [ セ ]

0 必要十分条件である
1 必要条件であるが十分条件ではない
2 十分条件であるが必要条件ではない
3 必要条件でも十分条件でもない

(3) 次の 0 から 7 のうち, 正しいものは [ ソ ] である。

0 「p ⇒ q」 は真, 「p ⇒ q」 の逆は真, 「p ⇒ q」 の対偶は真である。
1 「p ⇒ q」 は真, 「p ⇒ q」 の逆は真, 「p ⇒ q」 の対偶は偽である。
2 「p ⇒ q」 は真, 「p ⇒ q」 の逆は偽, 「p ⇒ q」 の対偶は真である。
3 「p ⇒ q」 は真, 「p ⇒ q」 の逆は偽, 「p ⇒ q」 の対偶は偽である。
4 「p ⇒ q」 は偽, 「p ⇒ q」 の逆は真, 「p ⇒ q」 の対偶は真である。
5 「p ⇒ q」 は偽, 「p ⇒ q」 の逆は真, 「p ⇒ q」 の対偶は偽である。
6 「p ⇒ q」 は偽, 「p ⇒ q」 の逆は偽, 「p ⇒ q」 の対偶は真である。
7 「p ⇒ q」 は偽, 「p ⇒ q」 の逆は偽, 「p ⇒ q」 の対偶は偽である。


第二問 (25 点)

二次函数 y = 6x2 + 11x - 10 …… (1)

について考える。

(1) に於いて, y ≦ 0 となる x の値の範囲は

[ アイ ]/[ ウ ] ≦ x ≦ [ エ ]/[ オ ]

である。

(1) のグラフを x 軸方向に a, y 軸方向に b だけ平行移動して得られるグラフを G とする。 G が原点 (0, 0) を通る時,

b = [ カキ ]a2 + [ クケ ]a + [ コサ ]

であり. この時 G を表す二次函数は

y = [ シ ]x2 - ([ スセ ]a - [ ソタ ])x …… (2)

である。

x = -2 と x = 3 に対応する二次函数 (2) の値が等しくなるのは

a = [ チツ ]/[ テト ]

の時である。 この時, 二次函数 (2) の -2 ≦ x ≦ 3 に於ける

最小値は [ ナニ ]/[ ヌ ], 最大値は [ ネノ].


第三問 (25 点)

下の図の様な直方体 ABCD-EFGH に於いて,

AE = √10, AF = 8, AH = 10

とする。

この時, FH = [ アイ ] であり, cos∠FAH = [ ウ ]/[ エ ] である。

又, △AFH の面積は [ オカ ][ キ ] である。

次に, ∠AFH の二等分線と辺 AH の交点を P, ∠FAH の二等分線と辺 FH の交点を Q, 線分 FP と線分 AQ の交点を R とする。 この時, R は△AFH の [ ク ] である。 次の 0 から 2 のうちから [ ク ] に当てはまるものを一つ選べ。

0 重心
1 外心
2 内心

又, AP = [ ケ ] であり, 従って

PF : PR = [ コ ] : 1

となる。 更に, 四面体 EAPR の体積は [ サ ][ シ ] である。


第四問 (25 点)

袋 A, B, C, D があり, それぞれに四枚のカードが入っている。 各袋のカードには, 1 から 4 迄の番号が付けられている。 袋 A, B, C, D からカードを一枚ずつ取り出し, 出た数をそれぞれ a, b, c, d とする。

(1) a, b, c, d の最大の数が 3 以下である場合は [ アイ ] 通りあり, 最大の数が 4 である場合は [ ウエオ ] 通りある。

(2) a, b, c, d について, a <b < c となる場合は [ カキ ] 通りある。

(3) 出た数 a, b, c, d によって, 次のように得点を定める。

a ≦ b ≦ c ≦ d の時は (d - a + 1) 点
それ以外の時は, 0 点

(i) 得点が 1 点となる確率は [ ク ]/[ ケコ ] であり, 得点が 4 点となる確率は [ サ ]/[ シスセ ] である。

(ii) 得点の期待値は [ ソタ ]/[ チツテ] である。


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