2007 年数学 II ・ B 問題

Sunday, 21st January, 2007.
13:30 -- 14:30 (1hr)
平均 48.94

注:

第一問, 第二問は必答。
第三問から第六問のうちから二問選択。
計四問を解答。

第一問 (必答 30 点)

[1] 不等式
sin 2x > (√2)cos(x + π/4) + 1/2
を満たす x の範囲を求めよう。 但し, 0 ≦ x < 2π とする。

a = sin x, b = cos x と置くと, 与えられた不等式は
[ ア ]ab + [ イ ]a - [ ウ ]b - 1 > 0
となる。 左辺の因数分解を利用して x の範囲を求めると
π/[ エ ] < x < ([ オ ]/[ カ ])π 又は ([ キ ]/[ ク ])π < x < ([ ケ ]/[ コ ])π
である。

[2] 不等式
2 + log_√y3 < log_y81 + 2 log_y(1 - x/2)
の表す領域を求めよう。
y と √y は対数の底であるから y > [ サ ], y ≠ [ シ ] である。 真数は正であるから x < [ ス ] である。 但し, 対数 log_ab に対し, a を底といい, b を真数という。
又,
log_√y3 = [ セ ]/log₃y, log_y81 = [ ソ ]/log₃y
であるから, 与えられた不等式は
1 < [ タ ]/log₃y + (log₃(1 - x/2))/log₃y
となる。 よって
y > [ チ ] の時, log₃y < log₃([ ツ ](1 - x/2))
[ テ ] < y < [ チ ] の時, log₃y > log₃([ ツ ](1 - x/2))
となる。

第二問 (必答 30 点)

a > 0 として, x の函数 f(x) と g(x) を
f(x) = x³ - x
g(x) = f(x - a) + 2a
とする。

(1) 二つの函数の差 g(x) - f(x) は
g(x) - f(x) = a([ アイ ]x² + [ ウ ]ax - a² + [ エ ])
と表され, x の方程式 g(x) - f(x) = 0 が異なる二つの実数解を持つような a の範囲は
0 < a < [ オ ]√[ カ ]
である。
又, g(x) - f(x) は x = [ キ ]/[ ク ] の時, 最大値
(a/[ ケ ])([ コサ ] - a^{[ シ ]})
をとる。

(2) (1) で得られた最大値を
h(a) = (a/[ ケ ])([ コサ ] - a^{[ シ ]})
と表す。 h(a) を a の函数と考える時, h(a) は a = [ ス ] で最大値 [ セ ] をとる。

(3) a = √3 の時, 曲線 y = f(x) と曲線 y = g(x) の二つの交点 P, Q の座標は
P([ ソ ], 0), Q(√[ タ ], [ チ ]√[ ツ ])
であり, 二つの曲線 y = f(x), y = g(x) で囲まれた部分の面積 S は
S = [ テ ]/[ ト ]
である。

更に, 交点 P([ ソ ], 0) における曲線 y = f(x) の接線と曲線 y = g(x) の接線がなす角を θ (0 ≦ θ < π/2) とすると
tan θ = [ ナ ]/[ ニ ]
である。

第三問 (選択 20 点)

三つの数列 {a_n}, {b_n}, {c_n} がある。

数列 {a_n} は, 初項が -27 で, 漸化式
a_n+1 = 3a_n + 60 (n = 1, 2, 3, ...)
を満たすとする。 このとき
a_n = [ ア ]ⁿ - [ イウ ]
である。 数列 {a_n} の初項から第 n 項迄の和 S_n は
S_n = ([ エ ]/[ オ ])([ カ ]ⁿ - [ キ ]) - [ イウ ]n
である。 又, S_n > 0 となる最小の自然数 n は [ ク ] である。

(2) 第 n 項が 2b_n + c_n で与えられる数列 {2b_n + c_n} は, 初項が 0 で公差が d の等差数列になり, 第 n 項が b_n - 2c_n で与えられる数列 {b_n - 2c_n} は, 初項が x で公比が r の等比数列になるとする。 このとき b_n + c_n は
b_n ＋ c_n = ([ ケ ]/[ コ ])d(n - 1) - ([ サ ]/[ シ ])xr^n-1
と表される。

数列 {a_n}, {b_n}, {c_n} は (1), (2) を満たすとする。 更に, 第 n 項が b_n + c_n で与えられる数列 {b_n + c_n} の階差数列は, 数列 {a_n} であるとする。 このとき
a_n = ([ ケ ]/[ コ ])d - ([ サ ]/[ シ ])x(1 - r)r^n-1
であるから, (1) より
r = [ ス ], x = [ セソタ ]/[ チ ], d = [ ツテト ]
である。 従って, 数列 {b_n}, {c_n} の第 n 項は, それぞれ
b_n = -[ ナ ]ⁿ/[ ニ ] - [ ヌネ ](n - 1)
c_n = [ ノ ]ⁿ - [ ハヒ ](n - 1)
である。

第四問 (選択 20 点)

本問では vectors はすべて太字斜体を用いる。

点 O を原点とする座標空間に四点 A(1, 0, 0), B(0, 1, 1), C(1, 0, 1), D(-2, -1, -2) がある。 0 < a < 1 とし, 線分 AB を a:(1 - a) に内分する点を E, 線分 CD を a:(1 - a) に内分する点を F とする。

(1) EF は a を用いて
EF = ( [ アイ ]a, [ ウエ ]a, [ オ ] - [ カ ]a)
と表される。 更に, EF が AB に垂直であるのは a = [ キ ]/[ ク ] の時である。

(2) a = [ キ ]/[ ク ] とする。 0 < b < 1 として, 線分 EF を b:(1 - b) に内分する点を G とすると, OG は b を用いて
OG = (([ ケ ] - [ コ ]b)/[ サ ], (([ シ ] - [ ス ]b)/[ サ ], [ セ ]/[ サ ])
と表される。

(3) (2) において, 直線 OG と直線 BC が交わる時の b の値と, その交点 H の座標を求めよう。
点 H は直線 BC 上にあるから, 実数 s を用いて BH = sBC と表される。 又, ベクトル OH は実数 t を用いて OH = tOG と表される。 よって
b = [ ソ ]/[ タ ], s = [ チ ]/[ ツ ], t = [ テ ]
である。 従って, 点 H の座標は
([ ト ]/[ ナ ], [ ニヌ ]/[ ナ ], [ ネ ])
である。 又, 点 H は線分 BC を [ ノ ]:1 に外分する。

第五問 (選択 20 点)

次の表は, P 高校のあるクラス 20 人について, 数学と国語のテストの得点をまとめたものである。 数学の得点を変量 x, 国語の得点を変量 y で表し, x, y の平均値をそれぞれ`x,`y で表す。 但し, 表の数値はすべて正確な値であり, 四捨五入されていないものとする。

以下, 小数の形で価値等する場合は, 指定された桁数 (けたすう) の一つ下の桁を四捨五入し, 解答せよ。 途中で割り切れた場合は, 指定された桁まで 0 にマークすること。

(1) 生徒番号 1 の生徒の x -`x の値が 3.0 であることに着目すると, 表中の B の値は [ アイ ].[ ウ ] であり, A の値は [ エオカキ ] である。

(2) 変量 x の分散は [ クケ ].[ コ ] である。

(3) z = x + y と置くと, この場合の変量 z の平均値`z は [ サシス ].[ セ ] である。 又, 変量 z の分散は
(z -`z)² = (x -`x)<sup>2</sup> + (y -`y)² + 2(x -`x)(y -`y)
の平均であるから
(z の分散) [ ソ ] ((x の分散) + (y の分散))
が成り立つ。 但し, [ ソ ] については, 当てはまるものを, 次の 0 から 2 のうちから一つ選べ。
0 > 1 = 2 <

(4) 変量 x と変量 y の相関図 (散布図) として適切なものは, 相関関係, 平均値, 中央値に注意すると, [ タ ] である。 但し, 相関図 (散布図) 中の点は, 度数 1 を表す。 [ タ ] に当てはまるものを, 次の 0 から 3 のうちから一つ選べ。

更に, P 高校の 20 人の数学の得点と Q 高校のあるクラス 25 人の数学の得点を比較する為に, それぞれの度数分布表を作ったところ, 次のようになった。

(5) 二つの高校の得点の中央値については [ チ ]。 [ チ ] 煮当てはまるものを, 次の 0 から 3 のうちから一つ選べ。

0 P 高校の方が大きい
1 Q 高校の方が大きい
2 P 高校と Q 高校で等しい
3 与えられた情報からはその大小を判定できない

(6) 度数分布表から分る Q 高校の平均値の取りうる範囲は [ ツテ ].[ ト ] 以上 [ ナニ ].[ ヌ ] 以下である。 又, (1) より P 高校の得点の平均値は [ アイ ].[ ウ ] であるから, 二つの高校の特典の平均値については, [ ネ ]。 但し, [ ネ ] については, 当てはまるものを, 次の 0 から 3 のうちから一つ選べ。

0 P 高校の方が大きい
1 Q 高校の方が大きい
2 P 高校と Q 高校で等しい
3 与えられた情報からはその大小を判定できない

次の記述のうち, 誤っているものは [ ノ ] である。 [ ノ ] に当てはまるものを, 次の 0 から 3 のうちから一つ選べ。

0 40 点未満の生徒の割合は, Q 高校の方が大きい。
1 54 点未満の生徒の割合は, Q 高校の方が大きい。
2 65 点未満の生徒の割合は, Q 高校の方が大きい。
3 70 点以上の生徒の割合は, P 高校の方が大きい。

第六問 (選択 20 点)

二分法を用いて 5 の三乗根の近似値を計算する為に, 次の [プログラム 1] を作った。

[プログラム 1]

100 LET A = 0
110 LET B = 2
120 INPUT N
130 FOR I = 1 TO N
140     LET C = (A+B)/2
150     LET D = C*C*C - 5
160     IF D < 0 THEN LET A = C
170     IF D >= THEN LET B = C
180 NEXT I
190 PRINT A
200 PRINT B
END

以下, 小数の形で解答する場合は, 指定された桁数 (けたすう) の一つ下の桁を四捨五入し, 解答せよ。 途中で割り切れた場合は, 指定された桁まで 0 にマークすること。

(1) 変数 N に 3 を入力した時, 出力される変数 A の値は [ ア ].[ イウ ] であり, 変数 B の値は [ エ ].[ オカ ] である。

(2) 変数 N に 5 を入力した時, 出力される変数 A と変数 B の差 B - A は [ キ ].[ クケコサ ] である。

(3) 出力される変数 A と変数 B の値の差 B - A が 0.001 以下になるようにしたい。 変数 N に入力すべき整数のうち, 最小のものは [ シス ] である。

(4) 二次方程式 x² - 2x - 4 = 0 の大きい方の解の近似値を求める為に [プログラム 1] の 150 行を
150 LET D = C*C*C - 2*C - 4
のように変更し, 更に 100 行と 110 行を [ セ ] の様に変更した [プログラム 2] を作った。 [ セ ] に当てはまるものを, 次の 0 から 3 のうちから一つ選べ。

0 100 LET A = 0
　　110 LET B = 1
1 100 LET A = 1
　　110 LET B = 2
2 100 LET A = 2
　　110 LET B = 3
3 100 LET A = 3
　　110 LET B = 4

(5) (4) の [プログラム 2] を変更して, 二次方程式 x² - 2x - 4 = 0 の小さい方の解の近似値を求める。 先ず, [プログラム 2] の 100 行と, 110 行を
100 LET A = -2
110 LET B = -1
のように変更し, 更に 150 行から 170 行に変更を加えることを考える。 次の変更のうち, N に入力する値を大きくしても, A, B の値が解に近づかないものは [ ソ ] である。 [ ソ ] に当てはまるものを, 次の 0 から 3 のうちから一つ選べ。

0150 LET D = C*C - 2*C - 4
　160 IF D < 0 THEN LET B = C
　170 IF D >= 0 THEN LET A = C
1150 LET D = C*C - 2*C - 4
　160 IF D > 0 THEN LET A = C
　170 IF D <= 0 THEN LET B = C
2150 LET D = (C*C - 2*C - 4)*(B*B - 2*B - 4)
　160 IF D < 0 THEN LET A = C
　170 IF D >= 0 THEN LET B = C
2150 LET D = (C*C - 2*C - 4)*(A*A - 2*A - 4)
　160 IF D < 0 THEN LET A = C
　170 IF D >= 0 THEN LET B = C

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