2008 年 数学 I ・ A 問題

Sunday, 20th January, 2008.
11:15 -- 12:15 (1hr)
平均 66.31


第一問 (20 点)

[1] 長方形 ABCD において, AB = CD = 8, BC = DA = 12 とする。 辺 AB 上に点 P, 辺 BC 上に点 R を

AP = BQ = CR

となるようにとり, AP = x と置く (0 < x < 8)。 このとき, 台形 PBCR の面積は [ アイ ] である。 又, △PQR の面積 S は

S = x2 - [ ウエ ]x + [ オカ ]

である。 S < 24 となる x の範囲は

[ キ ] < x < [ ク ]

である。

[2] 次の [ ケ ][ シ] に当てはまるものを, 下の 13 のうちから一つずつ選べ。 但し, 同じものを繰り返し選んでも良い。

自然数 m, n について, 条件 p, q, r を次のように定める。

p: m + n は 2 で割り切れる
q: n は 4 で割り切れる
r: m は 2 で割り切れ, 且つ n は 4 で割り切れる

又, 条件 p の否定を`p, 条件 r の否定を`r で表す。 この時

p は r である為の [ ケ ]
`p は`r であるための [ コ ]
「p 且つ q」 は r である為の [ サ ]
「p または q」 は r である為の [ シ ]

0 必要十分条件である
1 必要条件であるが, 十分条件でない
2 十分条件であるが, 必要条件でない
3 必要条件でも十分条件でもない


第二問 (25 点)

a, b を定数とし, a ≠ 0 とする。 二次函数
y = ax2 - bx - a + b ……… (1)
のグラフが点 (-2, 6) を通るとする。

この時
b = -a + [ ア ]
であり, グラフの頂点の座標を a を用いて表すと
((-a + [ イ ])/([ ウ ]a), -([ エ ]a - [ オ ])2/([ カ ]a))
である。

更に, 二次函数 (1) のグラフの頂点の y 座標が -2 であるとする。 このとき, a は
[ キ ]a2 - [ クケ ]a + [ コ ] = 0
を満たす。 これより, a の値は
a = [ サ ], [ シ ]/[ ス ]
である。

以下 a = [ シ ]/[ ス ] であるとする。
この時, 二次函数 (1)のグラフの頂点の x 座標は [ セ ] であり, (1) のグラフと x 軸の二交点の x 座標は [ ソ ], [ タ ] である。 但し, [ ソ ] と [ タ ] は回答の順序を問わない。

又, 函数 (1) は 0 ≦ x ≦ 9 において
x = [ チ ] のとき, 最小値 [ ツテ ] をとり,
x = [ ト ] のとき, 最大値 [ ナニ ]/[ ヌ ] をとる。


第三問 (30 点)

△ABC において, AB = 7, BC = 4√2, ∠ABC = 45°とする。 又, △ABC の外接円の中心を O とする。
この時, CA = [ ア ] であり, 外接円 O の半径は ([ イ ]/[ ウ ])√[ エ ] である。

外接円 O 上の点 A を含まない弧 BC 上に点 D を CD = √10 であるようにとる。  ∠ADC = [ オカ ]°であるから, AD = x とすると x は二次方程式
x2 - [ キ ](√[ ク ])x - [ ケコ ] = 0
を満たす。 x > 0 であるから AD = [ サ ][ シ ] となる。

下の [ ス ], [ セ ], [ ツ ] には, 次の 0 〜 5 のうちから当てはまるものを一つずつ選べ。 但し, 同じものを繰り返し選んでも良い。

0 AC, 1 AD, 2 AE, 3 BA, 4 CD, 5 ED

点 A における外接円 O の接線と辺 DC の延長の交点を E とする。 このとき, ∠CAE = ∠[ ス ]E であるから, △ACE と △D[ セ ] は相似である。
これより
EA = ([ ソ ]/[ タ ])(√[ チ ])EC
である。 又 EA2 = [ ツ ]・EC である。 従って
EA = ([ テト ]/[ ナ ])√[ ニ ]
であり, △ACE の面積は [ ヌネ ]/[ ノ ] である。


第四問 (25 点)

さいころを三回投げ, 次の規則に従って文字の列を作る。 但し, 何も書かれていないときや文字が一つだけのときも文字の列と呼ぶことにする。

一回目は次のようにする。

・出た目の数が 1, 2 のときは, 文字 A を書く。
・出た目の数が 3, 4 のときは, 文字 B を書く。
・出た目の数が 5, 6 のときは, 何も書かない。

二回目, 三回目は次のようにする。

・出た目の数が 1, 2 のときは, 文字の列の右側に文字 A を一つ付け加える。
・出た目の数が 3, 4 のときは, 文字の列の右側に文字 B を一つ付け加える。
・出た目の数が 5, 6 のときは, 一番右側の文字を削除する。 但し, 何も書かれていない時はそのままにする。

以下の問では, さいころを三回投げ終わったときに出来る文字の列について考える。

(1) 文字の列が AAA となるさいころの目の出方は [ ア ] 通りである。
文字の列が AB となるさいころの目の出方は [ イ ] 通りである。

(2) 文字の列が A となる確率は [ ウ ]/[ エオ ] であり, 何も書かれていない文字の列となる確率は [ カ ]/[ キク ] である。

(3) 文字の列の字数が 3 となる確率は [ ケ ]/[ コサ ] であり, 字数が 2 となる確率は [ シ ]/[ スセ ] である。 又, 文字の列の字数の期待値は [ ソタ ]/[ チ ] である。 但し, 何も書かれていないときの字数は 0 とする。


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