2013 年数学 II ・ B 問題

Sunday, 20th January, 2013.
14:50 -- 15:50 (1hr)
平均 55.64

注: この科目には, 選択問題があります。

第一問, 第二問は必答。
第三問から第六問のうちから二問選択。
計四問を解答。

第一問 (必答 30 点)

[1] O を原点とする座標平面上に二点 A(6, 0), B(3, 3) を採り, 線分 AB を 2 : 1 に内分する点を P, 1 : 2 に外分する点を Q とする。 三点 O, P, Q を通る円を C とする。

を満たす x の値の範囲を求めよう。

(1) P の座標は ([ ア ], [ イ ]) であり, Q の座標は ([ ウ ], [ エオ ]) である。

(2) 円 C の方程式を次のように求めよう。 線分 OP の中点を通り, OP に垂直な直線の方程式は

y = [ カキ ]x [ ク ]

であり, 線分 PQ の中点を通り, PQ に垂直な直線の方程式は

y = x -  [ ケ ]

である。

これらの二直線の交点が円 C の中心であることから, 円 C の方程式は

(x - [ コ ])² + (y + [ サ ])² = [ シス ]

であることが分かる。

(3) 円 C と x 軸の二つの交点の内, 点 O と異なる交点を R とすると, R は線分 OA を [ セ ] : 1 に外分する。

[2] 連立方程式

を満たす x, y, z を求めよう。 但し, x ≦ y ≦ z とする。

X = 2^x, Y = 2^y, Z = 2^z と置くと, x ≦ y ≦ z により, X ≦ Y ≦ Z である。
(*) から, X, Y, Z の関係式

XYZ = [ ソ ],
X + Y + Z = 35/2,
XY + YZ + ZX = [ タチ ]/[ ツ ]

が得られる。

この関係式を利用すると, t の三次式 (t - X)(t - Y)(t - Z) は

(t - X)(t - Y)(t - Z)
= t³ - (35/2)t² + ([ タチ ]/[ ツ ])t - [ ソ ]
= (t - 1/2)(t - [ テ ])(t - [ トナ ])

となる。 従って X ≦ Y ≦ Z により X = 1/2, Y =  [ テ ], Z = [ トナ ] となり,
x = log_{[ ニ ]} X, y = log_{[ ニ ]} Y, z =  log_{[ ニ ]} Z から
x = [ ヌネ ], y = [ ノ ], z = [ ハ ] であることが分かる。

第二問 (必答 30 点)

a を正の実数として, x の函数 f(x) を f(x) = x³ - 3a²x + a³ とする。

函数 y = f(x) は, x = [ アイ ] で極大値 [ ウ ]a^{[ エ ]} を採り, x = [ オ ] で極小値  [ カ ]a^{[ キ ]} を採る。 この時, 二点

([ アイ ], [ ウ ]a^{[ エ ]}), ([ オ ], [ カ ]a^{[ キ ]})

と原点を通る放物線

y = [ ク ]x² - [ ケ ]a^{[ コ ]}x

を C とする。 原点に於ける C の接線 l の方程式は

y = [ サシ ]a^{[ ス ]}x

である。 又, 原点を通り, l に垂直な直線 m の方程式は

y = (1/([ セ ]a^{[ ソ ]}))x

である。

x 軸に関して, 放物線 C と対称な放物線 y = -[ ク ]x² + [ ケ ]a^{[ コ ]}x を D とする。 D と l で囲まれた図形の面積 S は

S = ([ タチ ]/[ ツ ])a^{[ テ ]}

である。

放物線 C と直線 m の交点の x 座標は, 0 と (4a^{[ ト ]} + 1)/(2a^{[ ナ ]}) である。 C と m で囲まれた図形の面積を T とする。 S  T となるのは a^{[ テ ]} =  [ ニ ]/[ ヌ ] の時であり, この時, S = [ ネ ]/[ ノ ] である。

第三問--第六問は, 何れか二問を選択し, 解答しなさい。

第三問 (選択 20 点)

(1) 数列 {p_n} は次を満たすとする。

p₁ = 3, p_{n + 1} = (1/3)p_n + 1 (n = 1, 2, 3, ...) ……………… �@

数列 {p_n} の一般項と, 諸侯から第 n 項までの和を求めよう。 先ず �@ から

p_{n + 1} - [ ア ]/[ イ ] = (1/3)(p_n - [ ア ]/[ イ ]) (n = 1, 2, 3, ...)

となるので, 数列 {p_n} の一般項は

p_n = (1/([ ウ ]・[ エ ]^{n - 2})) + [ オ ]/[ カ ]

である。 従って自然数 n に対して

Σ_{k = 1}ⁿ p_k = ([ キ ]/[ ク ])(1 - 1/[ ケ ]ⁿ) + [ コ ]ⁿ/[ サ ]

である。

(2) 正の数からなる数列 {a_n} は, 初項から第三項が a₁ = 3, a₂ = 3, a₃ = 3 であり, 全ての自然数 n に対して

a_{n + 3} = (a_n + a_{n + 1})/a_{n + 2} ………… �A

を満たすとする。 又, 数列 {b_n}, {c_n} を自然数 n に対して, b_n = a_{2n - 1}, c_n = a_2n で定める。 数列の {b_n}, {c_n} の一般項を求めよう。 先ず �A から

a₄ = (a₁ + a₂)/a₃ = [ シ ], a₅ = 3, a₆ = [ ス ]/[ セ ], a₇ = 3 である。

従って, b₁ = b₂ = b₃ = b₄ = 3 となるので,

b_n = 3 (n = 1, 2, 3, ...) ………… �B

と推定出来る。

�B を示す為には, b₁ = 3 から, 全ての自然数 n に対して

b_{n + 1} = b_n ………… �C

であることを示せば良い。 このことを 「先ず, n = 1 の時 �C が成り立つことを示し, 次に, n = k の時 �C が成り立つと仮定すると, n = k + 1 の時も �C が成り立つことを示す方法を用いて証明しよう。 この方法を [ ソ ] という。 [ ソ ] に当てはまるものを, 次の 0 から 3 の内から一つ選べ。

0 組立除法
1 弧度法
2 数学的帰納法
3 背理法

[I] n = 1 の時, b₁ = 3, b₂ = 3 であることから �C は成り立つ。

[II] n = k の時, �C が成り立つ, 即ち

b_{k + 2} = (c_k + [ タ ]_{k + 1})/[ チ ]_{k + 1}, c_{k + 1} = ([ ツ ]_k + c_k)/[ テ ]_{k + 1}

となるので,  は

b_{k + 2} = ([ ト ]_k +  [ ナ ]_{k + 1})［ ニ ]_{k + 1}/(b_k + c_k)

と表される。 従って �D により, b_{k + 2} = b_{k + 1} が成り立つので, �C は n = k + 1 の時にも成り立つ。

[I], [II] により, 全ての自然数 n に対して �C の成り立つことが証明された。

従って, �B が成り立つので, 数列 {b_n} の一般項は b_n = 3 である。

次に, �A の n を 2n - 1 に置き換えて得られる等式と �B から

c_{n + 1} = (1/3)c_n + 1 (n = 1, 2, 3, ...)

となり, c₁ = [ ヌ ] であることと �@ から, 数列 {c_n} の一般項は, (1) で求めた数列 {p_n} の一般項と等しくなることが分かる。

第四問 (選択 20 点)

本問では vectors はすべて太字斜体を用いる。

OA = 5, OC = 4, ∠AOC = θ である 平行四辺形 OABC に於いて, 線分 OA を 3 : 2 に内分する点を D とする。又, 点 A を通り, 直線 BD に垂直な直線と, 直線 OC の交点を E とする。 但し 0 < θ < π とする。
以下, OA = a, OC = c と置き, 実数 t を用いて OE = tc と表す。

(1) t をcos θを用いて表そう。

AE = tc - a, DB = ([ ア ]/[ イ ])a + c, a・c = [ ウエ ]cos θ

となるので, AE・DB = [ オ ] により

t = (([ カ ]([ キ ]cos θ + 1))/([ ク ](cos θ + [ ケ ])) ………… �@

となる。

(2) 点 E は線分 OC 上にあるとする。 θ の採り得る値の範囲を求めよう。 但し, 線分 OC は両端の点 O, C を含むものとする。 以下, r = cos θ と置く。

点 E が線分 OC 上にあることから, 0 ≦ t ≦ 1 である。 -1 < r < 1 なので, �@ の右辺の cos θ を r に置き換えた分母 [ ク ](r + [ ケ ]) は正である。 従って, 条件 0 ≦ t ≦ 1 は

0 ≦ [ カ ]([ キ ]cos θ + 1) ≦ [ ク ](r + [ ケ ]) ………… �A

となる。

r についての不等式 �A を解くことにより, θ の採り得る値の範囲は

π/[ コ ] ≦ θ ≦ ([ サ ])/[ シ ])π

であることが分かる。

(3) cos θ = -1/8 とする。 直線 AE と直線 BD の交点を F とし, △BEF の面積を求めよう。
�@ により t = [ ス ]/[ セ ] となり,

OF = ([ ソ ]/[ タ ])a + ([ チ ]/[ ツ ]

となる。 従って点 F は線分 AE を 1: [ テ ] に内分する。 このことと,
平行四辺形 OABC の面積は ([ トナ ] √[ ニ ])/[ ヌ ] であることから, △BEF の面積は ([ ネ ]√[ ノ ])/[ ハ ] である。

第五問 (選択 20 点)

次の表は, あるクラスの生徒十人に対して行われた国語と英語の小テスト (各十点満点) の得点を纏めたものである。 但し, 小テストの得点は整数値を採り, C > D である。 又, 表の数値はすべて正確な値であり, 四捨五入されていない。

以下, 小数の形で解答する場合は, 指定された桁 (けた) 数の 一つ下の桁を四捨五入し, 解答せよ。 途中で割り切れた場合は, 指定された桁まで 0 にマークすること。

(1) 十人の国語の平均値 A は [ ア ].[ イ ] 点である。 又, 国語の得点の分散 B の値は [ ウ ].[ エオ ] である。 更に, 国語の得点の中央値は [ カ ].[ キ ] 点である。

(2) 十人の英語の得点の平均値が 8.0 点, 分散が 1.00 であることから, C と D の間には関係式

C + D =  [ クケ ],
(C - 8)² + (d - 8)² = [ コ ]

が成り立つ。 上の連立方程式と, 条件 C > D により, C, D の値はそれぞれ [ サ ] 点, [ シ ] 点であることが分かる。

(3) 十人の国語と英語の得点の相関図 (散布図) として適切なものは [ ス ] であり, 国語と英語の得点の相関係数の値は [ セ ].[ ソタチ ] である。 但し, [ ス ] については, 当てはまるものを, 次の 0 から 3 の内から一つ選べ。

(4) 同じ十人に対して数学の小テスト (十点満点) を行った所数学の得点の平均値は丁度 5.4 点であり, 分散は丁度 1.44 であった。 又国語と数学の得点の相関係数は丁度 -0.125 であった。

ここで, k を 1 から 10 までの自然数として, 生徒 k の国語の得点を x_k, 数学の得点を y_k, 国語と数学の得点の合計 x_k + y_k を w_k で表す。 この時, 国語と数学の得点の合計 w₁, w₂, ... , w₁₀ の平均値は [ ツテ ].[ ト ] 点である。

次に, 国語と数学の得点の合計 w₁, w₂, ... , w₁₀ の分散を以下の手順で求めよう。 国語の得点の平均値を`x, 分散を s<sub>x</sub><sup>2</sup>, 数学の得点の平均値を`y, 分散を s_y², 国語と数学の得点の合計の平均値を`w, 分散を s_w² で表す。

この時

T = (x₁ -`x)(ｙ<sub>1</sub> -`ｙ） + (x₂ -`x)(ｙ<sub>2</sub> -`ｙ) + … + (x₁₀ -`x)(ｙ<sub>10</sub> -`ｙ)

と置くと, 国語と数学の得点の相関係数は -0.125 であるから T = [ ナニ ].[ ヌネノ ] である。

又, k を 1 から 10 までの自然数として, (w_k -`w)² は

 (w_k -`w)<sup>2</sup>
= {(x<sub>k</sub> + y<sub>k</sub>) - (`x +`ｙ)}<sup>2</sup>
 ={(x<sub>k</sub> +`x) - (y_k +`ｙ)}²

と変形出来る。 これを利用して, 分散 s_w² は

 s_w² = s_x² + s_y² + [ ハ ]T

と表すことが出来るので, 分散 s_w² の値は [ ヒ ].[ フヘ ] である。 但し [ ハ ] については, 次の 0 から 3 の内から一つ選べ。

0 1/2
1 1/5
2 1/10
3 1/20

第六問 (選択 20 点)

自然数 N を, 0 又は 1 又は 2 の何れかの値を採る a₀, a₁, ..., a_{p - 1} を用いて

N = a_{p - 1}×3^{p - 1} + a_{p - 2}×3^{p - 2} + … + a₂×3² + a₁×3 + a₀ ………… �@

と表す時, 数字の列 a_{p - 1}a_{p - 2}…a₂a₁a₀ を N の 3 進数表示と呼び, p をこの 3 進数表示の桁数と呼ぶ。 但し, a_{p - 1} は 0 でないとする。 例えば

35 = 1×3³ + 0×3² + 2×3 + 2

であるから, 35 の三進数表示は 1022 であり, その桁数は 4 である。 又, 自然数 1 から 10 の三進数表示は以下のようになる。

三進数表示が p 桁の自然数 N は 3^{p - 1} ≦ N < 3^p を満たすので, 常用対数を採ることにより, p と N の関係式

p - 1 ≦ (log₁₀ N)/(log₁₀ 3) < p

が成り立つことが分かる。

(1) 三進数表示が 1212 である自然数は [ アイ ] である。

(2) 自然数 N を与え, その三進数表示を求めよう。 �@ の N を 3^{p - 1} で割った商が a_{p - 1} であることに着目して, N の三進数表示 a_{p - 1}a_{p - 2}…a₂a₁a₀ を上の位の数から順に出力する 〔プログラム 1〕 を作成した。 又, �@ の N を 3 で割った余りが a₀ であることに着目して, N の三進数表示 a_{p - 1}a_{p - 2}…a₂a₁a₀ を下の位から順に出力する 〔プログラム 2〕 を作成した。但し, INT(X) は X を超えない最大の整数を表す函数である。 又, LOG10(X) は X の常用対数を表す函数であり, �A により, 何れのプログラムに於いても, 110 行は入力された自然数 N 又は M の三進数表示の桁数を P に代入している。

100 INPUT N
110 LET P = INT(LOG10(n)/LOG10(3)) + 1
120 LET X = 3^(P - 1)
130 FOR I = 1 TO P
140    PRINT [ ウ ]
150    LET N = [ エ ]
160    LET X = [ オ ]
170 NEXT I
180 END

100 INPUT M
110 LET P = INT(LOG10(M)/LOG10)3)) + 1
120 FOR I = 1 TO P
130    PRINT M - INT(M/3)*3
140    LET M = INT(M/3)
150 NEXT I
160 END

[ ウ ], [ エ ], [ オ ] に当てはまるものを, 次の 0 から 8 の中から一つずつ選べ。 但し, 同じものを繰り返し選んでも良い。

0 X/3　　　　1 N/3　　　　　　　2 X/N
3 INT(N/3)　4 N - INT(N/3)　　5 N - INT(N/3)*3
6 INT(N/X)　7 N - INT(N/X)　　8 N - INT(N/X)*X

〔プログラム 2〕 を実行して変数 M に 77 を入力すると log₁₀77/log₁₀3 = 3.95... であることから, 110 行では P に 4 が代入される。 130 行で出力される値を並べることにより, 自然数 77 の三進数表示は [ カキクケ ] となる。

(3) 与えられた自然数 N の三進数表示 a_{p - 1}a_{p - 2}…a₂a₁a₀ が, これを逆に⇒多数時の列 a₀a₁a₂…a_{p - 2}a_{p - 1} と一致するかどうかを調べ, その結果を出力する 〔プログラム 3〕 を作成した。 例えば, 〔プログラム 3〕 を実行して変数 N に 202 を入力すると, 202 は三進数表示が 21111 であるから 「一致しない」 と出力される。 又, 変数 N に 203 を入力すると, 203 は三進数表示が 21112 であるから 「一致する」 と出力される。

〔プログラム 3〕

100 INPUT N
110 LET P = INT(LOG10(N)/LOG10(3)) + 1
120 LET X = 3^(P - 1)
130 [ コ ]
140 FOR I = 1 TO INT(P/2)
150    LET A = [ ウ ]
160    LET N = [ エ ]
170    LET X = [ オ ]
180    LET B = M - INT(M/3)*3
190    LET M = INT(M/3)
200    [ サ ]
210 NEXT I
220 PRINT "一致する"
230 GOTO 250
240 PRINT "一致しない"
250 END

〔プログラム 3〕 の [ コ ] に当てはまるものを, 次の 0 から 5 の内から一つ選べ。

0 LET M = N
1 LET M = P
2 LET M = X
3 LET N = M
4 LET N = P
5 LET N = X

[ サ ] に当てはまるものを, 次の 0 から 3 のうちから一つ選べ。

0 IF A = B THEN GOTO 220
1 IF A <> B THEN GOTO 220
2 IF A = B THEN GOTO 240
3 IF A <> B THEN GOTO 240

〔プログラム 3〕 を実行して変数 N に 436 を入力すると (log₁₀436)/(log₁₀3) = 5.53... であることから, 110 行では P に 6 が代入され, 200 行の IF 文の判定は [ シ ] 回実行される。 200 行の IF 文の判定が最後に行われた時の X の値は [ スセ ] であり, その後 [ ソ ]。 [ ソ ] に当てはまるものを次の 0 から 3 のうちから一つ選べ。

0 220 行が実行され, 240 行は実行されない。
1 240 行が実行され 240 行は実行されない。
2 220 行と 240 行の両方が実行される。
3 220 行と 240 行は何れも実行されない。

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