2015 年数学 II ・ B 問題

Sunday, 18th January, 2015.
13:40 -- 14:40 (1hr)
平均 39.31


注:

第一問, 第二問は必答。
第三問から第五問のうちから二問選択。
計四問を解答。


第一問 (必答 30 点)

[1] O を原点とする座標平面上の二点 P(2cosθ, 2sinθ), Q(2cosθ + cos7θ, 2sinθ + sin7θ) を考える。 但し, π/8 ≦ θ ≦ π/4 とする。

(1) OP = [ ア ], PQ = [ イ ] である。 又

OQ2 = [ ウ ] + [ エ ](cos7θcosθ + sin7θsinθ) =   [ ウ ] + [ エ ]cos([ オ ]θ)

である。

よって, π/8 ≦ θ ≦ π/4 の範囲で, OQ は θ = π/ [ カ ] の時最大値 √[ キ ] を取る。

(2) 三点 O, P, Q が一直線上にあるような θ の値を求めよう。

直線 OP を表す方程式は [ ク ] である。 [ ク ] に当てはまるものを, 次の 0 から 3 のうちから一つ選べ。

0 (cosθ)x + (sinθ)y = 0
1 (sinθ)x + (cosθ)y = 0
2 (cosθ)x - (sinθ)y = 0
3 (sinθ)x - (cosθ)y = 0

このことにより π/8 ≦ θ ≦ π/4 の範囲で, 三点 O, P, Q が一直線上にあるのは θ = π/[ ケ ] の時であることが分かる。

(3) ∠OQP が直角となるのは OQ = √[ コ ] の時である。 従って, π/8 ≦ θ ≦ π/4 の範囲で, ∠OQP が直角となるのは θ = ([ サ ]/[ シ ])π の時である。

[2] a, b を正の実数とする。 連立方程式

(*) x√(y3) = a,
  (3√x)y = b

を満たす正の実数 x, y について考えよう。

(1) 連立方程式 (*) を満たす正の実数 x, y は

x = a[ ス ]b[ セソ ], y = apb[ タ ]

となる。 但し

p = [ チツ ]/[ テ ]

である。

(2) b = 2 3√(a4) とする。 a が a > 0 の範囲を動く時, 連立方程式 (*) を満たす正の実数 x, y について, x + y の最小値を求めよう。

b = 2 3√(a4) であるから, (*) を満たす正の実数 x, y は a を用いて

x = 2[ セソ ]a[ トナ ], y = 2[ タ ]a[ ニ ]

と表される。 従って, 相加平均と相乗平均の関係を利用すると, x + y は a = 2q の時最小値 √[ ヌ ] をとることが分かる。 但し q = [ ネノ ]/[ ハ ]  である。


第二問 (必答 30 点)

(1) 関数 f(x) = (1/2)x2 の x = a における微分係数 f '(a) を求めよう。 h が 0 でない時, x が a から a + h 迄変化する時の f(x) の平均変化率は [ ア ] + h/[ イ ] である。 従って, 求める微分係数は

f '(x) = limh→[ ウ ] ([ ア ] + h/[ イ ]) = [ エ ]

である。

(2) 放物線 y = (1/2)x2 を C とし, C 上に点 P(a, (1/2)a2) を取る。 但し, a > 0 とする。 点 P における C の接線 l の方程式は

y = [ オ ]x - (1/[ カ ])a2

である。 直線 l と x 軸との交点 Q の座標は ([ キ ]/[ ク ], 0) である。 点 Q を通り l に垂直な直線を m とすると, m の方程式は)

y = ([ ケコ ]/[ サ ])x + [ シ ]/[ ス ]

である。

直線 m と y 軸との交点を A とする。三角形 Apq の面積を S と置くと S = a(a2 + [ セ ])/[ ソ ] となる。 又, y 軸と線分 AP 及び曲線 C によって囲まれた図形の面積を T と置くと T = a(a2 + [ タ  ])/[ チツ ] となる。

a > 0 の範囲における S - T の値について調べよう。 S - T = a(a2 - [ テ  ])/[ トナ ] である。 a > 0 であるから, S - T > 0 となるような a の取り得る値の範囲は a > √[ ニ ] である。 又 a > 0 の時の S - T の増減を調べると, S - T は a = [ ヌ ] で最小値 [ ネノ ]/[ ハヒ ] を取ることが分かる。


第三問 (選択 20 点)

自然数 n に対し, 2n の一の位の数を an とする。 又, 数列 {bn} は

b1 = 1, bn + 1 = anbn/4 ……… (1)

を満たすとする。

(1) a1 = 2, a2 = [ ア ], a3 = [ イ ], a4 = [ ウ ], a5 = [ エ ] である。 このことから, すべての自然数 n に対して,  a[ オ ] = an であることが分かる。 [ オ ] に当てはまるものを, 次の 0 から 4 の内から一つ選べ。

0 5n
1 4n + 1
2 n + 3
3 n + 4
4 n + 5

(2) 数列 {bn} の一般項を求めよう。 (1) を繰り返し用いることにより

bn + 1 = (an + 3an + 2an + 1an/2[ カ ])bn (n = 1, 2, 3, ...)

が成り立つことが分かる。 ここで an + 3an + 2an + 1an = 3・2[ キ ] であることから, bn + 4 = ([ ク ]/[ ケ ])bn が成り立つ。 このことから, 自然数 k に対して,

b4k - 3 = ([ コ ]/[ サ ])k - 1,         b4k - 2 = ([ シ ]/[ ス ])([ コ ]/[ サ ])k - 1,
b4k - 1 = ([ セ ]/[ ソ ])([ コ ]/[ サ ])k - 1, b4k = ([ コ ]/[ サ ])k - 1

である。

(3) Sn = Σj=1n bj と置く。 自然数 m に対して

S4m[ タ ]([ コ ]/[ サ ])m - [ チ ]

である。

(4) 積 b1b2…bn を Tn と置く。 自然数 k に対して

b4k - 3b4k - 2b4k - 1b4k = (1/[ ツ ])([ コ ]/[ サ ])[ テ ](k - 1)

であることから, 自然数 m に対して

T4m = (1/[ ツ ]m)([ コ ]/[ サ ])[ ト ]m2 - [ ナ ]m

である。 又 T10 を計算すると  = 3[ ニ ]/2[ ヌネ ] である。


第四問 (選択 20 点)

本問では vectors はすべて太字斜体を用いる。

一辺の長さが 1 の菱形 OABC に於いて, ∠AOC = 120°とする。 辺 AB を 2:1 に内分する点を P とし, 直線 BC 上に点 Q を OPOQ となるようにとる。 以下 OA = a, OB = b と置く。

(1) 三角形 OPQ の面積を求めよう。 OP = ([ ア ]/[ イ ])a + ([ ウ ]/[ イ ])b である。 実数 t を用いて OQ = [ エ ]ta + b である。 ここで, ab = [ オ ]/[ カ ], OPOQ = [ キ ] であることから, t = [ ク ]/[ ケ ] である。

これらの事から |OP| = (√[ コ ])/[ サ ], |OQ| = (√[ シス ])/[ セ ] である。

よって, 三角形 OPQ の面積 S1 は,  S1 = [ ソ ](√[ タ ])/[ チツ ] である。

(2) 辺 BC を 1:3 に内分する点を R 都市, 直線 OR と直線 PQ との交点を T とする。 OTab を用いて表し, 三角形 OPT と三角形 PRT の面積比を求めよう。

T は直線 OR 上の点であり, 直線 PQ 上の点でもあるので, 実数 r, s を用いて

OT = rOR = (1 - s)OP + sOQ

と表すと, r = [ テ ]/[ ト ], s = [ ナ ]/[ ニ ] となることが分かる。 よって, OT = ([ ヌネ ]/[ ノハ ])a + ([ ヒ ]/[ フ ])b  である。

上で求めた, r, s の値から, 三角形 OPQ の面積 S1 と, 三角形 PRT の面積 S2 との比は, S1:S2 = [ ヘホ ]: 2 である。


第五問 (選択 20 点)

以下の問題を解答するに当たっては, 必要に応じて 29 ページの正規分布表を用いても良い。 (PDF の方をご参照下さい)
又, 小数の形で解答する場合, 指定された (けた) 数の一つ下の桁を四捨五入し, 解答せよ。 途中で割り切れた場合, 指定された桁まで 0 にマークすること。

(1) 袋の中に白球が四個, 赤球が三個入っている。 この袋の中から同時に三個の球を取り出す時, 白球の個数を W とする。 確率変数 W について

P(W = 0) = [ ア ]/[ イウ ], P(W = 1) = [ エオ ]/[ イウ ]
P(W = 2) = [ カキ ]/[ イウ ], P(W = 3) = [ ク ]/[ イウ ]

 であり, 期待値 (平均9 は [ ケコ ]/[ サ ], 分散は [ シス ]/[ セソ ] である。

(2) 確率変数 Z が標準正規分布に従うとき

P(-[ タ ] ≦ Z ≦ [ タ ]) = 0.99

が成り立つ。 [ タ ] に当てはまる最も適切なものを, 次の 0 から 3 の内から一つ選べ。

0 1.64
1 1.96
2 2.33
3 2.58

(3) 母標準偏差 σ の母集団から, 大きさ n の無作為標本を抽出する。 但し, n は十分に大きいとする。 この標本から得られる母平均 m の信頼度 (信頼係数) 95 % の信頼区間を A ≦ m ≦ B とし, この信頼区間の幅 L1 を L1 = B - A で定める。

この標本から得られる信頼度 99 % の信頼区間を C ≦ m ≦ D とし, この信頼区間の幅 L2 を L2 = D - C で定めると

L2/L1 = [ チ ].[ ツ ]

が成り立つ。 又, 同じ母集団から, 大きさ 4n の無作為標本を抽出して得られる母平均 m の信頼度 95 % の信頼区間を E ≦ m ≦ F とし, この信頼区間の幅 L3 を L3 = F - E で定める。 この時

 L3/L1 = [ テ ].[ トナ ]

が成り立つ。

 


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