二倍角の公式
$\cos2\alpha=\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$
より ① から
$2\cos^2\alpha + 2\cos^2\beta -2 = \ds{4\over15}$
$\cos^2\alpha + \cos^2\beta -1 = \ds{2\over15}$
$\cos^2\alpha + \cos^2\beta = \ds{17\over15}$.
一方 ② より
$\cos^2\alpha\cos^2\beta = \left(-\ds{2\sqrt{15}\over15}\right)^2 =
\left(-\ds{2\over\sqrt{15}}\right)^2 = \ds{4\over15}$.
従って二次方程式の解と係数の関係より $\cos^2\alpha$, $\cos^2\beta$ は次の二次方程式の二解である。
$t^2 - \ds{17\over15}t + \ds{4\over15} = 0$
即ち $15t^2 - 17t + 4 = 0$.
これは因数分解出来て $(5t - 4)(3t -1) = 0$.
だから $t = \ds{4\over5}, \ds{1\over3}$.
条件 ③ より $\cos^2\alpha \geqq\cos^2\beta$ だから
$\cos^2\alpha = \ds{4\over5}$,
$\cos^2\beta = \ds{1\over3}$
条件 ③ より $0\leqq\theta\leqq\pi$ で, $\cos\theta$ が単調減少であることから $\cos\alpha >
\cos\beta$.
しかも ② より $\cos\alpha\cos\beta < 0$ なのだから
$\cos\alpha = \ds{2\over\sqrt5} = \ds{2\sqrt5\over5}$,
$\cos\beta = -\ds{1\over\sqrt3} = \ds{-\sqrt3\over3}$.
一寸 $\cos\alpha$ と $\cos\beta$ の決定の際に迷うが, 誘導があるので難しくはないだろう。