(1) $y' = 2x$, $y'_{x=t} = 2t$ なので, $C$ 上の点 $(t, t^2 + 1)$ に於ける接線の方程式は
\begin{align} y &= 2t(x-t) + t^2 + 1 \\ &= 2tx - 2t^2 + t^2 + 1 \\ &= 2tx- t^2 + 1. \end{align}
この直線が $P$ を通るとすれば
$2a = 2at - t^2 + 1$ より $t^2 - 2at + 2a - 1 = 0$.
$(t-1)(t - 2a + 1) = 0$.
故に $t = 2a-1, 1$.
ここで $2a - 1 = a$ とすると $a = 1$ だから, $a\neq1$ の時, $P$ を通る $C$ の接線は二本あり, それらの方程式は
$t = 2$ のとき
と, $t = 1$ の時, $y = 2x$ である。
(2)
$r = -4a^2 + 4a$ とすると
$a^2 - a < 0$.
$a(a - 1) < 0$.
つまり $0 < a < 1$.
$S = \ds{1\over2}OR\cdot a$
$= \ds{1\over2}\left(-4a^2 + 4a\right)a$
$= (-2a^2 + 2a)a$
$= 2(-a^2 + a)a$
$= 2(a^2 - a^3)$.
$\ds{dS\over da} = 2(2a - 3a^2) = 2a(2 - 3a)$
|
a |
+0 | $\hspace{2em}\cdots\hspace{2em}$ | $\ds{2\over3}$ | $\hspace{2em}\cdots\hspace{2em}$ | $1-0$ |
| $\ds{dS \over da}$ | 0 | $+$ | 0 | $-$ | $-2$ |
| S | 0 | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ | 0 |
なので, 最大値は $a = \ds{2\over3}$ の時で
$S = 2\times\left(\ds{2\over3}\right)^2\left(1-\ds{2\over3}\right)$
$ = 2\times\ds{4\over9}\times\ds{1\over3} = \ds{8\over27}$.
(3) 放物線 $C$ は下に凸なので
$T =\ds{\int_0^a \left(x^2 + 1 - \left((4a-2)x - 4a^2 + 4a\right)\right)\,dx}$
$= \ds{\int_0^a \left(x^2 - (4a-2)x + 4a^2 - 4a + 1\right)\,dx}$
$=
\ds{\left[\ds{1\over3}x^3 - (2a-1)x^2 + (4a^2 - 4a + 1)x\right]_0^a}$
$=\ds{1\over3}a^3 - (2a-1)a^2 + (4a^2 - 4a + 1)a$
$= \ds{1\over3}a^3 - 2a^3 + a^2 + 4a^3 - 4a^2 + a$
$=\left(\ds{1\over3} + 2\right)a^3 - 3a^2 + a$
$= \ds{7\over3}a^3 - 3a^2 + a$.
$\ds{dT\over da} = 7a^2 - 6a + 1$
$= 7\left(a^2 - \ds{6\over7}a\right) + 1$
$= 7\left(\left(a - \ds{3\over7}\right)^2 -\ds{9\over49}\right) + 1$
$= 7\left(a - \ds{3\over7}\right)^2 - \ds{9\over7} + 1$
$= 7\left(a - \ds{3\over7}\right)^2 - \ds{2\over7}$.
ここで $\ds{2\over3} \leqq a < 1$ とすると, 軸の $\ds{3\over7} < \ds{2\over3}$ であり, $a =
\ds{2\over3}$ の時
$T = \ds{28\over9} - 6\times\ds{2\over3} + 1 = \ds{28\over9} - 4 + 1 =
\ds{28\over9} - 3 = \ds{28-27\over9} = \ds{1\over9} > 0$ だから
$\ds{2\over3} \leqq a < 1$ の時常に $T > 0$.
つまり $T$ は単調増加なので 2.
教科書の演習問題程度。 難しくない。
しかし フ の解答形式は良くない。
又, 最後の $T$ の増減を調べるのも結構面倒である。