従って頂点は $\ds{\left(3a^2 + 5a,\ 9a^4 + 24a^2 + 16\right)}$.
又
\begin{align} 3a^2 + 5a &= 3\left(a^2 + \ds{5\over 3}a\right) \\ &= 3\left(\left(a + \ds{5\over6}\right)^2 - \ds{25\over 36}\right) \\ &= 3\left(a + \ds{5\over6}\right)^2 - \ds{25\over 12} \geqq -\ds{25\over 12}. \end{align}従って最小値は $\ds{-{25\over12}}$.
一方, $t = a^2$ とするとき ($t\geqq0$ で) $9a^4 + 24a^2 + 16 = (3t + 4)^2$ だが, $t\geqq0$ なので, 最小値は $t = 0$ のときで, 16 になる。
$a$ の式が四次で計算がややこしいが, 教科書の演習問題程度。
$t$ の範囲が制限されているところが落とし穴か。