2017 センター試験 数学 I・A 第四問

(1) 4 の倍数は下二桁が 4 で割り切れれば良い。 ($4\times25 = 100$ だから)
$70 + a = 40 + (30 + a)$ なので, $4\times8 = 32$, $4\times9 = 36$ しかない。
つまり $a = 2, 6$.

(2) (1) と同様に $50 +c = 40 + (10 + c)$ なので $4\times3 =12$, $4\times4 = 16$ から, $c = 2, 6$ しかない。

$c=2$ のとき 9 の倍数になるのは $7 + b + 5 + 2 = 9 + 5 + b$ なので $b = 4$.
$c=6$ のときは $ 7 + b + 5 + 6 = 18 + b$ なので, $b = 0, 9$.

つまり ウ は 3.
最小は $b = 0, c = 6$.
最大は $b = 9, c = 6$.

$(6n)^2$ となるのは $6^2 = 36$ なので 4 の倍数, 且つ 9 の倍数のときだから, 7056, 7452, 7956 の時しかない。
$7056 = 36\times196 = 36\times14^2$,
$7452 = 36\times207$,
$7956 = 36\times221$
ということなので, $b=0$, $c=6$ で, $n = 14$.

(3) $1188 = 2^2\times3^3\times11$ なので, 正の約数は全部で $(2 + 1)\times(3 + 1)\times(1 + 1) = 3\times4\times2 = 24$ 個。

2 の倍数は (少なくとも一つ 2 を素因数に持っているので) $4\times2\times2=16$ 個。
4 の倍数は (少なくとも二つ 2 を素因数に持っているので) $4\times2 = 8$ 個。

従って, 積を 2 進数であらわすと $2^{16+8}$ で割り切れるので (そして $2^{16 + 8 + 1}$ では割り切れないので), $16 + 8 = 24$ 個。


(2) は電卓が欲しくなるだろう。 計算が面倒。

(3) は, 二進数で見るのは珍しい。 良く十進表記で末尾に何桁 0 が並ぶかという問題があるが, それを知っていると楽に解けたと思う。 そうでない人はどうだったろうか。