(1) $P(X=2a) = \ds{1\over a}$.
$E(X) = \ds{{2\over5}\sum_{k=1}^5 k} = \ds{{2\over5}\cdot{5\times6\over2}}=6$.
$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \ds{{1\over5}\cdot{4\over6}}\cdot5\times8\times11 - 6^2 = 44 - 36 = 8$.
$E(sX + t) = sE(X) + t = 6s + t = 20$,
$V(sX + t) = s^2V(X) = 8s^2 = 32$.
$s^2 = 4$.
$s > 0$ より $s = 2$.
従って $t = 8$.
$sX + t = 2X + 8 \geqq 20$.
$2X \geqq12$.
$X\geqq6$.
従って $X = 6, 8, 10$ なので求める確率は $\ds{3\over5} = 0.6$.
(2) $P(A) = \ds{{}_a\mathrm{C}_3\over{}_a\mathrm{P}_3} = \ds{a(a-1)(a-2)\over a(a-1)(a-2)\cdot3\cdot2\cdot1} = \ds{1\over6}.$
$m = \ds{180\over6} = 30$.
$\sigma^2 = 180\cdot\ds{{1\over6}\cdot{5\over6}} = 25$.
$Y=\sigma Z + m$ なので
$18\leqq5Z + 30\leqq36$.
$-12\leqq5Z\leqq6$
$-2.40\leqq Z\leqq1.20$.
従って正規分布表より
$P(18\leqq Y \leqq 36) = P(-2.40 \leqq Z \leqq 1.20)
= 0.4918 + 0.3849 = 0.8767
\fallingdotseq 0.88$.
(3) $\ds{320\over400}=\ds{32\over40}=\ds{8\over10} = 0.8$.
$0.8 - 1.96\times\ds{\sqrt{\ds{0.8\times0.2\over400}}}$
$=0.8-1.96\times\ds{\ds{\sqrt{0.16}}\over20}$
$=0.8-1.96\times\ds{0.4\over20}$
$=0.8-1.96\times0.02 = 0.8-0.038 = 0.762$
$\fallingdotseq0.76$.
同様に
$0.8 + 1.96\times\ds{\sqrt{\ds{0.8\times0.2\over400}}}$
$=0.8 + 0.038 = 0.383 \fallingdotseq0.84$.
さて
$\ds{0.8\times0.2\over400}=\ds{0.16\over400}=0.0004$,
$\ds{0.6\times0.4\over400}=\ds{0.06\over100}=0.0006$,
$\ds{0.8\times0.2\over500}=\ds{0.16\over500}=0.00032$.
なので $L_3 < L_1 < L_2$.
最初の問題が簡単過ぎて却って不安になる。