(1) (第二) 余弦定理から
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB\cdot BC \cos\angle ABC$$
$6^2 = 5^2 + 9^2 - 2\cdot5\cdot9\cos\angle ABC$.
$2\cdot5\cdot9\cos\angle ABC = 25 + 81 -36$
従って $\cos\angle ABC = \ds{7\over9}$.
$\angle ABC$ は四角形の内角なので
$\sin\angle ABC = \ds{\sqrt{1-\cos^2\angle ABC}} = \ds{\sqrt{9^2 - 7^2}\over9} = \ds{\sqrt{2\cdot16}\over9} = \ds{4\sqrt2\over9}$.
$AB\cdot\sin\angle ABC =\ds{20\sqrt2\over9}$
$\ds{\left(AB\cdot\sin\angle ABC\right)^2 = {800\over81}}$
$9\cdot81 = 729 < 800$ なので
$9 < \ds{800\over81}$
故に $3 < \ds{20\sqrt2\over9}$
従って $CD < AB\cdot\sin\angle ABC$.
よって カ は 0.
四角形 $ABCD$ が台形で, 上の事実より $AD \mathbin{\!/\mkern-5mu/\!} BC$ はありえないので キ は 4.
再び (第二) 余弦定理より
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC\cdot CD\cos(180^\circ-\angle ABC)$
$BD^2 = 9^2 + 3^2 - 2\cdot9\cdot3\cdot\ds{\left(-{7\over9}\right)} = 81 + 9 + 42
= 132$.
$BD > 0$ より $BD = \sqrt{132} = 2\sqrt{33}$.
キ は変な問題。