先ず
\begin{align} y &= x^2 + \left(2a - b\right) x + a^2 + 1 \\ &= \left(x + \left(a - {b\over 2}\right)\right)^2 - \left(a -{b\over2}\right)^2 + a^2 + 1 \\ \end{align}なので
\begin{align} - \left(a -{b\over2}\right)^2 + a^2 + 1 &= -\left(a^2 - ab + {b^2\over4}\right) + a^2 + 1 \\ &= -a^2 + ab - {b^2\over4} + a^2 + 1 \\ &= -{b^2\over4} + ab + 1. \end{align}(1) $\ds{\left({b\over2} - a, \ -{b^2\over4} + ab + 1\right)}$.
(2) $(-1, \ 6)$ を代入。
$6 = 1 - (2a - b) + a^2 + 1$
$6 = 1 - 2a + b + a^2 + 1$
$b = -a^2 + 2a + 4$
$= -\ds{\left(a^2 - 2a\right) + 4}$
$= -\ds{\left(\left(a - 1\right)^2 - 1\right)} + 4$
$= -\ds{\left(a - 1\right)^2 + 5}$.
よって $b$ の最大値は $5$ でその時 $a = 1$.
この時の頂点の座標は
\begin{align} \left({5\over2} - 1,\ -{25\over4} + 5 + 1\right) &= \left({3\over2},\ {24 - 25\over4}\right) \\ &= \left({3\over2},\ -{1\over4}\right). \end{align}基本的な問題で全然難しくない。