(1) $n=1$ を代入すると
$a_2 = \ds{{1+3\over1+1}\left(3a_1 + 3^2 - 2\times3\right)}$
$= \ds{{4\over2}(3\times0 + 9 - 6)}$
$= 2\times3 = 6$.
(2) $b_1 = \ds{a_1\over3\times2\times3} = 0$.
割った結果は
$\ds{a_{n+1}\over3^{n+1}(n+2)(n+3)} = \ds{n+3\over
n+1}\left(\ds{a_n\over3^n(n+2)(n+3)} + \ds{1\over(n+2)(n+3)} -
\ds{n+1\over3^{n+1}(n+3)}\right)$
$\ds{a_{n+1}\over3^{n+1}(n+2)(n+3)} = \ds{a_n\over3^n(n+1)(n+2)} +
\ds{1\over(n+1)(n+2)} - \left(\ds{1\over3}\right)^{n+1}$
よって $b_{n+1} = b_n + \ds{1\over(n+1)(n+2)} - \left(\ds{1\over3}\right)^{n+1}$.
従って $b_{n+1}-b_n = \left(\ds{1\over n+1} - \ds{1\over n + 2}\right) -
\left(\ds{1\over3}\right)^{n+1}$
(これが数列 $\left\{b_n\right\}$ の階差数列になっていることを以下で利用する)
$\ds{\sum_{k=1}^{n-1}\left({1\over k+1} - {1\over k + 2}\right)}$
$= \ds{\left({1\over2} - {1\over3}\right) + \left({1\over3} - {1\over4}\right) +
\cdots +\left({1\over n} - {1\over n + 1}\right)}$ $= \ds{1\over2}-\ds{1\over n
+ 1}$
$=\ds{1\over2}\cdot\ds{n+1 - 2\over n + 1} = \ds{1\over2}\left({n - 1\over n +
1}\right)$.
$\ds{\sum_{k=1}^{n-1} \left(\ds{1\over3}\right)^{k+1}} = \ds{\ds{1\over9}\left(1-\left(\ds{1\over3}\right)^{n-1}\right)\over1-\ds{1\over3}}$
$=
\ds{\ds{1\over9}\left(1-\left(\ds{1\over3}\right)^{n-1}\right)\over\ds{2\over3}}$
$= \ds{1\over2}\left(\ds{1\over3} - \left(\ds{1\over3}\right)^n\right)$
$= \ds{1\over6} - \ds{1\over2}\left(\ds{1\over3}\right)^n$.
以上より
$b_n = \ds{{n-1\over2(n+1)} - {1\over6} + {1\over2}\left({1\over3}\right)^n}$
$= \ds{{3(n-1)-(n+1)\over6(n+1)} + {1\over2}\left({1\over3}\right)^n}$
$= \ds{{3n-3-n-1\over6(n+1)} + {1\over2}\left({1\over3}\right)^n}$
$= \ds{{2n-4\over6(n+1)} + {1\over2}\left({1\over3}\right)^n}$
$= \ds{{n-2\over3(n+1)} + {1\over2}\left({1\over3}\right)^n}$
(3) 以上より
$a_n = 3^n(n+ 1)(n+2)b_n$
$= 3^n(n+ 1)(n+2)\left(\ds{{n-2\over3(n+1)} +
{1\over2}\left({1\over3}\right)^n}\right)$
$= 3^{n-1}(n+2)(n-2) + \ds{(n+1)(n+2)\over2}$
$= 3^{n-1}(n^2-4) + \ds{(n+1)(n+2)\over2}$.
(4)
$a_{3k}= 3^{3k-1}(3^{6k}-4) + \ds{(3k+1)(3k+2)\over2}$
mod 3 で見ると (余りだけ見ると) これは $\ds{(3k+1)(3k+2)\over2}$ に等しい。
$k = 2m$ の時は $a_{3k} \equiv\ds{(6m+1)(6m+2)\over2} = (6m+1)(3m+1) \equiv 1
(\mathrm{mod}\ 3)$.
同様に $k = 2m + 1$ の時は $a_{3k} \equiv\ds{(6m+4)(6m+5)\over2} = (3m+2)(6m+5)
\equiv 10 \equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 3)$
で, 何れにしても 3 で割った余りは 1.
$a_{3k+1} = 3^{3k}\left((3k+1)^2-4\right) + \ds{(3k+2)(3k+3)\over2} \equiv
3\ds{(k+1)(3k+2)\over2} \equiv 0\ (\mathrm{mod} 3)$
だから 3 で割った余りは 0..
$a_{3k+2} = 3^{3k+1}\left((3k+2)^2-4\right) + \ds{(3k+3)(3k+4)\over2} \equiv
3\ds{(k+1)(3k+4)\over2} \equiv 0\ (\mathrm{mod} 3)$
だから 3 で割った余りは 0.
面倒なだけで難しくはないと思う。
最後はきちんとやったが, 答えだけなら $n$ = 1, 2, 3 で調べればそれで充分。