(1) $y = (x -c)\left(x - (c + 4)\right) = x^2 - (2c + 4)x +c(c + 4) = x^2 -2(c + 2)x + c(c+4)$.
共有点を持つ条件はつまり $x = 3$ の時 $-3 < y < 0$ ということなので,
$-3 \leqq 9 - 6(c + 2)+c^2 + 4c \leqq0$
$-3 \leqq c^2 -2c - 3 \leqq 0$.
左側は $c^2 - 2c = c(c - 2)\geqq0$ 即ち $c \leqq 0$, $2 \leqq c$.
右側は $c^2 -2c - 3 = (c + 1)(c - 3) \leqq0$ 即ち $-1 \leqq c \leqq 3$ である。
従って, 求める範囲は $-1\leqq c\leqq0$, $2\leqq c \leqq3$.
(2) $2\leqq c \leqq3$ の場合で $G$ が $(3, \ -1)$ を通るとすると
$-1 = 9 - 6(c + 2) + c^2 + 4c$
$-1 = c^2 - 2c - 3$
$c^2 - 2c -2 = 0$
$c = 1 \pm \sqrt{1 + 2} = 1 \pm \sqrt3$.
$2 \leqq c \leqq3$ より $c = 1+ \sqrt3$.
$y = \left(x - (c + 2)\right)^2 - 4$ なので,
$x$ 軸方向に $c + 2 = 3 + \sqrt3$, $y$ 軸方向に $-4$ 平行移動。
$G$ の $y$ 切片は $c(c + 4) = \left(1 + \sqrt3\right)\left(5 + \sqrt3\right) = 8 + 6\sqrt3$,
基本的な問題で全然難しくない。