(1) $x = \ds{234\over99} = \ds{26\over11}$.
(2) $y = \ds{2ab_{(7)}- 2_{(7)}\over48} = \ds{2\times49 + 7a + b - 2\over48} =\ds{96 + 7a + b\over48}$.
(i) $y = 2 +\ds{7a + b\over48} = 2 + \ds{7a + b\over4\times12}$
であるから $12\mid(7a+b)$, $0\leqq a \leqq6$, $0\leqq b\leqq6$ ということなので, 順に調べていく。
$a = 1$ の時は $b = 5$ だけで, $y =2 + \ds{12\over4\times12} = 2 +
\ds{1\over4} =\ds{9\over4}$. これは OK.
$a= 2$ の時は $b = 10$ となってしまうので不適。
$a=3$ の時は $b=3$ となるが, $y =2 + \ds{24\over4\times12} = 2 + \ds{1\over2}$ となって不適。
$a=4$ の時は $b=8$ となってしまうのでやはり不適。
$a=5$ の時は $b=1$ で $y =2 + \ds{36\over4\times12} = 2 + \ds{3\over4}
=\ds{11\over4}$. これは OK.
$a=6$ の時は $b=6$ のみで, この時は $y =2 + \ds{48\over4\times12} = 2 + 1$ となって不適。
以上から $\ds{9\over4}$, $\ds{11\over4}$.
(ii) 分子が 1 で表されるということは, 要するに分子が 48 の正の約数で 48 自身を除いたものということだから即ち
$7a + b =$ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 となるということである。
順に調べていくと, ($a\not=b$ なので)
$a=0$, $b = 1$ 適,
$a=0$, $b = 2$ 適,
$a=0$, $b = 3$ 適,
$a=0$, $b = 4$ 適,
$a=0$, $b = 6$ 適,
$a=1$, $b = 1$ 不適,
$a=1$, $b = 5$ 適,
$a=2$, $b = 2$ 不適,
$a=3$, $b = 3$ 不適
となって 6 だけ OK.
最後ので $a\not=b$ という条件を忘れがちだが, この条件は別になくてもよかったのではないかと思う。