(1) $0\leqq\theta < \alpha < \beta < 2\pi$
で $\triangle PQR$ が正三角形ということは
$\alpha = \theta+\ds{2\over\ 3\ }\pi$,
$\beta = \theta+\ds{4\over\ 3\ }\pi$.
だから
$\cos\alpha=\cos\ds{\left(\theta+\ds{2\over\ 3\ }\pi\right)}$
$=\cos\theta\cos\ds{2\over\ 3\ }\pi-\sin\theta\sin\ds{2\over\ 3\ }\pi$
$=-\ds{1\over\ 2\ }\cos\theta-\ds{\ \sqrt{3\ }\over2}\sin\theta$.
$\sin\alpha=\sin\ds{\left(\theta+\ds{2\over\ 3\ }\pi\right)}$
$=\sin\theta\cos\ds{2\over\ 3\ }\pi+\cos\theta\sin\ds{2\over\ 3\ }\pi$
$=-\ds{1\over\ 2\ }\sin\theta+\ds{\ \sqrt{3\ }\over2}\cos\theta$.
同様に
$\cos\beta=\cos\ds{\left(\theta+\ds{4\over\ 3\ }\pi\right)}$
$=\cos\theta\cos\ds{4\over\ 3\ }\pi-\sin\theta\sin\ds{4\over\ 3\ }\pi$
$=-\ds{1\over\ 2\ }\cos\theta+\ds{\ \sqrt{3\ }\over2}\sin\theta$.
なので $s = \cos\theta + \cos\alpha + \cos\beta = 0$.
同様に
$\sin\beta=\sin\ds{\left(\theta+\ds{4\over\ 3\ }\pi\right)}=\sin\theta\cos\ds{4\over\
3\ }\pi+\cos\theta\sin\ds{4\over\ 3\ }\pi$
$=-\ds{1\over\ 2\ }\sin\theta-\ds{\ \sqrt{3\ }\over2}\cos\theta$
より $t=0$.
考察 2 に入る。
$s=\cos\ds{\ \pi\ \over\ 4\ }+\cos\alpha+\sin\alpha =\ds{\ \sqrt{2\ }\ \over\ 2\ }+\sin\alpha+\cos\alpha$ &c.
$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2\ }\sin\ds{\left(\alpha+\ds{\ \pi\ \over\ 4\ }\right)}$.
$s=t=\sqrt{2\ }\sin\ds{\left(\alpha+\ds{\ \pi\ \over\ 4\ }\right)}+\ds{\
\sqrt{2\ }\ \over\ 2\ }=0$
とすると
$\sin\ds{\left(\alpha+\ds{\ \pi\ \over\ 4\ }\right)}=-\ds{\ 1\ \over\ 2\ }$.
$\ds{\ \pi\ \over\ 4\ } < \alpha < \ds{\ 5\ \over\ 4\ }\pi$ より $\ds{\ \pi\
\over\ 2\ } < \alpha +\ds{\ \pi\ \over\ 4\ } < \ds{\ 3\ \over\ 2\ }\pi$ なので
$\alpha +\ds{\ \pi\ \over\ 4\ } = \ds{\ 7\ \over\ 6\ }\pi$.
$\alpha = \ds{\ 14-3\ \over\ 12\ }\pi =\ds{\ 11\ \over\ 12\ }\pi$.
$\beta=\ds{\ 3\ \over\ 2\ }\pi+\ds{\ \pi\ \over\ 12\ }=\ds{\ 19\ \over\ 12\
}\pi$.
(2) $s= \cos\theta + \cos\alpha + \cos\beta = 0$ より
$\cos\theta + \cos\alpha = -\cos\theta$.
故に $\cos^2\alpha+ \cos^2\beta + 2\cos\alpha\cos\beta= \cos^2\theta$.
同様に $\sin^2\alpha+ \sin^2\beta + 2\sin\alpha\sin\beta= \sin^2\theta$.
辺々加えて
$2+2\left(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\right) = 1$.
だから $\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta = \ds{\ -1\ \over2}$.
つまり $\cos(\beta-\alpha)=-\ds{\ 1\ \over\ 2\ }$.
同様に $\cos(\alpha-\theta)=-\ds{\ 1\ \over\ 2\ }$.
$0 \leqq\theta < \alpha < \beta < 2\pi$ だったから $0 < \beta-\alpha < 2\pi-\alpha
< 2\pi$, $0 < \alpha - \theta < \beta - \theta < 2\pi -\theta < 2\pi$.
従って $\beta-\alpha = \alpha - \theta = \ds{\ 2\ \over\ 3\ }\pi$.
(3) 以上より $\triangle PQR$ が正三角形 ⇔ $s=t=0$.
計算が大変。
穴埋め問題だから論理が粗雑でも答えられるが, 角度の範囲に関しては真面目に考えると結構難しい。