[1] $a_1 = S_1 = 5^1 - 1=4$.
$n\geqq2$ とすると
$a_n =S_n - S_{n-1}$
$= \left(5^n - 1\right)-\left(5^{n-1}-1\right)$
$=5\times5^{n-1}-5^{n-1}$
$=4\times5^{n-1}$.
$\ds{\sum^n_{k=1} \ds{1\over a_k}}$
$= \ds{\sum^n_{k=1}
\ds{\left(\ds{1\over4}\times\ds{\left(\ds{1\over5}\right)^{k-1}}\right)}}$
$= \ds{1\over4}\times\ds{1-\left(\ds{1\over5}\right)^n\over1-\ds{1\over5}}$
$=\ds{1\over4}\times\ds{5\over4}\left(1-5^{-n}\right)$
$=\ds{5\over16}\left(1-5^{-n}\right)$.
[2] (1) $n = 1$ の時は
の四通り。 従って $t_1=4$.
p. 36 の問題に書いてある図から
$A=B=1$.
従って
$t_2 = r_2 + t_1 = 11 +4 = 15$.
$nrp - 2np = rp - 6r + 6$.
$(r - 2)pn = r(p - 6) + 6$.
p. 37 の問題に書いてある図から $C = 1$, $D = 2$.
(2) $n = 3$ の時の
$r_3$ を知りたいわけなので
$r_3 = r_2 + 2t_2$
$= 11+2\times15 =
11+30 = 41$.
次のものは $n = 4$ の時の $r_4$ を知りたいということなのだから
$r_4 = r_3 +2t_3$
そして
$t_3=r_3 + t_2 = 41 + 15 =56$ なので
$t_4 = 41 + 2\times56 = 41 + 112 = 153$.
$r_n$ について解きたくなるが, 解くと却って難しくなってしまう。