(1) $(a + b + c)^2 = 1$.
$a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 1$.
$13 + 2(ab + bc + ca) = 1$
$2(ab + bc + ca)=-12$
$ab + bc + ca = -6$.
$(a-b)^2 + (b -c)^2 + (c-a)^2$
$=2(a^2 + b^2 + c^2 -ab - bc - ca$
$=2\times(13+6) = 2\times19=38$.
(2) $x+y = b-c + c-a = b-a = -2\sqrt{5\ }$.
ここで (1) より
$20+x^2+y^2 = 38$
$x^2+y^2 = 18$.
$(x + y)^2 = 20$
$x^2 + y^2 + 2xy =20$
$18+2xy = 20$.
$9+xy = 10$
$xy = 1$.
$(a-b)(b-c)(c-a)=2\sqrt{5\ }xy=2\sqrt{5\ }$.
この問題は基本的で大して難しくない。
ここに出てきているのは対称式, というのと最後の $(a-b)(b-c)(c-a)$ というものは差積と呼ばれているものである。 名前がついているくらいなので, 数学の専門家にはお馴染のものであるが, そういうこととは関係なく誘導の通りやれば良いだけである。