(1) (i) 一通りだけなので確率は $\ds{1\over2}$.
(ii) 樹形図を描いてみるのが速いであろう。
| A | B | C | |
| a | b | c | |
| c | b | ||
| b | a | c | |
| c | a | 〇 | |
| c | a | b | 〇 |
| b | a |
という感じになるので六通り中二通りだけ適する。 つまり $\ds{2\over6}=\ds{1\over3}$.
(iii) 一回目で終了, 二回目で終了, ... と順に考えていくと
$\ds{1\over3}+\ds{2\over3}\times\ds{1\over3}+
\left(\ds{2\over3}\right)^2\times\ds{1\over3} +
\left(\ds{2\over3}\right)^3\times\ds{1\over3}$
$=\ds{1\over3}\left(1 + \ds{2\over3} + \ds{4\over9} + \ds{8\over27}\right)$
$=\ds{1\over3}\times\ds{27+18+12+8\over27} = \ds{65\over81}$.
一人同じであと三人は違うという場合, 誰が同じになる一人かという因子も考えると $2\times4=8$ 通り。
同様に二人同じで後二人は違うというのは $1\times{}_4\mathrm{C}_2 = \ds{4\times3\over2\times1} =6$
通り。
三人は同じで, あとの一人だけが違うということはあり得ない。
四人が同じというのは一通りだけ。
よって, 一回目で終了しないのは 15 通り。
余事象を考えて, 一回目の交換で交換会が終了する確率は
$1 - \ds{15\over4!} = 1-\ds{15 \over4\times3\times2\times1} = 1-\ds{5\over8}
=
\ds{3\over\ 8\ }$.
(3) (2) と同様に考えていく。
一人同じであと四人違うのは
$(4! -15)\times5 = (24-15)\times5 = 9\times5=45$ 通り。
二人同じであと三人違うのは
$2\times{}_5\mathrm{C}_2 = 2\times\ds{5\times4\over2\times1} = 20$ 通り。
三人同じで後二人が違うのは $1\times{}_5\mathrm{C}_3=\ds{5\times4\over2\times1} = 10$ 通り。
四人同じであと一人だけ違うということはあり得ない。
五人全員同じというのは一通り。
以上より余事象の場合の数は 76 通り。
従って求める確率は
$1-\ds{76\over5!}=1-\ds{76\over5\times4\times3\times2\times1}=1-\ds{19\over30}=\ds{11\over30}$.
(4) A, B, C, D が自分以外とは
A, B, C, D は自分のものではないが, E だけが自分のものである場合
と
全員が自分のものとは違う
という二つの場合がある。
最初の場合は 9 通りである。
後の方の場合は
$\ds{11\over30}\times5\times4\times3\times2\times1=44$ 通り。
従って求める確率は $\ds{44\over9+44}=\ds{44\over53}$.
この問題は 「すれ違い順列」, 「完全順列」, 「攪乱順列」 として知られているものである。 面倒である。 計算量も多くて大変である。