(1) (i) 図のように $AC$ が直径になるようにとると分かるように
$\sin\angle{ACB}=\ds{3\over5}$.
$\cos\angle{ACB}$
$=-\cos\left(180^\circ-\angle{ACB}\right)$
$= -\ds{4\over5}$.
(ii) 図のように
$\tan\angle{OAD}=\ds{4\over3}$.
$CD=OC+OD=5+4=9$ だから
$\triangle{ABC}=\ds{1\over2}\times6\times9=27$.
(2) この設定の下では $T$ は $\triangle{PQR}$ の外心の真上に位置することになる。
（第二） 余弦定理により
$5^2=8^2+9^2-2\times8\times9\cos\angle{QPR}$
$2\times8\times9\cos\angle{QPR} =64+81-25=120$.
つまり $\cos\angle{QPR}=\ds{5\over6}$.
従って
$\sin\angle{QPR}=\ds{\sqrt{1-\left({5\over6}\right)^2}}=\ds{\sqrt{11}\over6}$.
よって $\triangle{PQR}=\ds{1\over2}\times8\times9\times\ds{\sqrt{11}\over6}=6\sqrt{11}$.
$H$ は$\triangle{PQR}$ の外心なので $PH=QH=RH$.
$\triangle{PQR}$ の外接円の半径 $R$ は正弦定理によって
$R=\ds{QR\over2\sin\angle{QRP}}=\ds{5\over2\times\ds{\sqrt{11}\over6}}$.
(1) で $OD$ に対応する部分の長さは
$\ds{\sqrt{25-\ds{225\over11}}}=\ds{\sqrt{275-225\over{11}}}=\ds{\sqrt{50\over11}} = \ds{5\sqrt{22}\over11}$.
よって求める体積は
$\ds{1\over3}\times6\sqrt{11}\times\left(5+\ds{5\sqrt{22}\over11}\right)$
$=2\sqrt{11}\times5\left(1+\ds{\sqrt{22}\over11}\right)=10\left(\sqrt{11}+\ds{11\sqrt2\over11}\right)$
$=10\left(\sqrt{11}+\sqrt2\right)$.
そんなに難しくはない。