(1) 接線となる条件は $\angle{OEH}=90^\circ$.
点 $C$, $G$, $H$, $O$ は
$\angle{OGH}=\angle{OCH}=90^\circ$ なので同一円周上にある。
故に
$\angle{CHG} = \angle{FOG}$.
ここで $\angle{DOG}=2\angle{FOG}$.
故に
$\angle{DEG}=\ds{1\over2}\angle{DOG} = \angle{FOG}$.
従って四点 $C$, $G$, $H$, $E$ は同一円周上にある。
(2) (1) と同様に考えて
$\angle{PTS}=\ds{1\over2}\angle{QOS} = \angle{QRS}$.
$R$, $P$, $T$, $S$, $O$ は同一円周上にある。 その円の半径は
$\ds{1\over2}OT=\ds{3\sqrt{6}\over2}$.
そして
$RT = ST =\sqrt{54-5}=\sqrt{49}=7$.
この問題は良く見ると中学三年の知識しか使っていない。
だからと言って易しいかというとそうでもない気がする。