単項式の微分

[review 復習]

函数 y = f(x) に関し,

を x = a における微分係数といい, 函数

を元の函数の導函数という。導函数を求めることを微分するという。

函数のうちでいちばん簡単なのは何 ? って言うと, それは定数函数。 つまり x とはまったく無関係な定数 c を用いて, f(x) = c と書かれる函数。 例えば, f(x) = 1. つまり, x の値に関係なく, いつも同じ 1 って値の函数。グラフを描くと真横に一直線の函数だ。

この定数函数 f(x) = c を微分するとどうなるか ? 分からなければやってみるしかなくって, やるときは定義通りにやる。つまり f(x + h) = f(x) = c だから,

ってわけだ。つまり (c)' = 0. 言葉で言うと, 定数を微分すると 0.

次に簡単なのは ? って言うと, それは一次函数。つまり, 定数 a, b によって f(x) = ax + b と表される函数。 ここでは b は考えないで, f(x) = ax だけ考える。

この函数 f(x) = x を微分するとどうなるか ? やっぱりやってみるっきゃないので, 定義通りやる。すると

となる。 つまり (ax)' = a.

お次は f(x) = ax² だ。 勿論 a は定数 (以下同じ)。 微分してみると

となる。つまり (ax²)' = 2ax.

次は f(x) = ax³ だけど, 多分, (x + h)³ が分からないだろうから, これを先ず最初にやっておこう。

(x + h)³ = (x + h)²(x + h) ………………… これが三乗の定義
= (x² + 2xh + h²)(x + h)
= M(x + h) ………………………………… M = x² + 2xh + h² と置いた
= Mx + Mh ………………………………… 分配法則
= (x² + 2xh + h²)x + (x² + 2xh + h²)h …… M を元に戻した。
= x³ + 2x²h + xh² + x²h + 2xh² + h³ …… 再び分配法則。
= x³ + 3x²h + 3xh² + h³ ………………… 同類項を纏 (まと) めた。

これを用いると, 微分が出来て

となる。つまり (ax³)' = 3ax².

もう少し調子に乗って, f(x) = ax⁴ もやってしまおう ! やっぱり (x + h)⁴ をあらかじめ計算しておく必要があるだろう。

(x + h)⁴ = (x + h)³(x + h)
= (x³ + 3x²h + 3xh² + h³)(x + h)
= M(x + h) = Mx + Mh
= (x³ + 3x²h + 3xh² + h³)x + (x³ + 3x²h + 3xh² + h³)h
= x⁴ + 3x³h + 3x²h² + xh³ + x³h + 3x²h² + 3xh³ + h⁴
= x⁴ + 4x³h + 6x²h² + 4xh³ + h⁴.

これから

即ち (ax⁴)' = 4ax³.

この辺で, もういいかげんなんか気付かない ?

そう, 何となく (axⁿ)' = anx^n-1 っていうのが公式として成り立ちそうだろう。 しかも, 定数の a ってのは, 前についてるだけで, あんまり意味なさそうだね。

実は, (af(x))' = af'(x) と, (axⁿ)' = anx^n-1 というのが公式として成り立つんだ。

最初の方は簡単に証明出来て,

だからなんだな。

次の方は, 一寸難しい。とりあえず, x⁰ = 1 だから (これが 0 でない数の 0 乗の定義), (c)' = (cx⁰)' = c×0×x^-1 = 0 で成り立っているっていうことに注意しておいて, 同じものを引いて足すというテクニックを用いて
(x + h)ⁿ - xⁿ = (x + h)^n-1(x + h) - x^n-1(x + h) + x^n-1(x + h) - xⁿ
= ((x + h)^n-1 - x^n-1)(x + h) + x^n-1((x + h) - x)
であることを使うと, 数学的帰納法, つまり, n = 1, 2, 3, ...... と 小さい方では証明できていたとして,

であるので, 帰納法の仮定から (x^n-1)' = (n-1)x^n-2 を用いて

(xⁿ)' = (n-1)x^n-2x + x^n-1 = (n-1)x^n-1 + x^n-1 = nx^n-1.

実は, n は自然数でなくってもいいので, 一般に

,

となるように, 負の指数と, 分数指数に関して決められている。 それ以外に関しても決められているけれども, それはあとで。

これらの一般化された指数でも公式 (xⁿ)' = nx^n-1 は成立するのだが, それの証明は対数微分法というのを用いなければならないので, 又あとで。

ここでは雰囲気をつかんでもらう為に, f(x) = 1/x と, f(x) = 1/x², それから f(x) = √x = x^1/2 について微分してみよう。

つまり (x^-1)' = (1/x)' = -1/x² = -x^-2 だから, ちゃんと公式通りだね。

又,

だから, (x^-2)' =(1/x²)' = -2/x³ = -2x^-3 で, ちゃんと公式どおりになっている。

最後に (a + b)(a - b) = a² - b² を用いた, 「分子の有理化」 と呼ばれるテクニックを用いて

だから, (x^1/2)' = (√x)' = 1/(2√x) = (1/2)x^-1/2 なので, ちゃんと公式どおりになっている。

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