多項式の微分

[review 復習]

a, c, n が x に無関係な定数であるとき,

(af(x))' = af'(x). …… (1)

(c)' = 0, (xⁿ)' = nx^n-1.

多項式とは, f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + …… + a₁x + a₀ といった感じの式のことだから, 基本的に, 次の公式が証明できればいい。

(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x).

証明は簡単。

これと, 上記 [review] の (1) とを合わせて, 微分の線型性 liniarity という。

普通, 纏 (まと) めて次のように書く

(af(x) + bg(x))' = af'(x) + bg'(x).

例:

(1) (5x²⁰⁰ + 3x⁴⁰ - 5x² -7x + 3)'
　　= 5(x²⁰⁰)' + 3(x⁴⁰)' - 5(x²)' - 7(x)' +(3)'
　　= 5×200x^200-1 + 3×40x^40-1 - 5×2x^2-1 - 7×1x^1-1 + 0
　　= 1000x¹⁹⁹ + 120x³⁹ -10x - 7.

(2) ((4x - 3)(2x + 5))'
　　= (8x² +14x - 15)' …… 展開した
　　= 16x + 14.

注: 展開しないで微分する方法はないではないが, まだ勉強してないので後で。

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