と書く。 そして 
と定める。 このように定めても,
上記の指数法則が成り立つことが証明される。a > 0 b > 0に関し, 次の指数法則 exponential law が成り立つ。
割り算のときが複雑で n > m ならば an/am = an-m だが, n = m ならば an/am = 1, n < m ならば an/am = 1/am-n である。 これを統一的に表す為に, a0 = 1, a-n = 1/an と定める。
更に, a > 0, 自然数 n に関し, xn = a となる数 x
> 0 が只一つ存在する。それを
と書く。 そして
と定める。 このように定めても,
上記の指数法則が成り立つことが証明される。
こうして,
指数が有理数であるときには全て定義できたが, 指数 p
が無理数のときには, 有理数が稠密であること,
即ち, p に幾らでも近い有理数が存在することから, p
に近付いていく有理数 bn を採って 
を考えると bn が p に近付いていくときに,
が近付いていく数を ap
の定義とすれば問題ないことが知られている。
こうして全ての数で指数 ap が定義でき,
指数法則を満たすことが示される。
この最後の部分は, かなり難しい議論を要する。 解析学の専門書を参考とされたい。