最初こういう問題は扱わないつもりだったが, 大学受験をした生徒から訊かれたので一応扱っておく。
例) 次の極限を求めよ。 但し f(x), g(x) は x = a で微分可能とする。
(1) limh→0 (f(a - h) - f(a))/h.
(2) limh→0 (f(a + h2) - f(a))/h.
(3) limh→0 (f(a + ph) - f(a + qh))/h.
(4) limx→a (xnf(a) - anf(x))/(x - a).
解)
(1) 与式 = -limh→0 (f(a - h) - f(a))/(-h) … t = -h と置く
= -limh→0 (f(a + t) - f(a))/t = -f'(a).
f'(a) になりそうでならないところがみそである。
(2) 与式 = limh→0 h(f(a + h2) - f(a))/h2 = 0・f'(a) = 0.
(3) 与式 = limh→0 (f(a + ph) - f(a) + f(a) - f(a + qh))/h
= limh→0 (p(f(a + ph) - f(a))/(ph) - q(f(a + qh) - f(a))/(qh)) =
pf'(a) - qf'(a) = (p - q)f'(a).
(4) h = x - a と置く。 微分公式から limh→0 ((a + h)n - an)/h
= nan-1 だから
与式 = limh→0 ((a + h)nf(a) - anf(a + h))/h
= limh→0 ((a + h)nf(a) - anf(a) + anf(a)
- anf(a + h))/h
= limh→0 (((a + h)nf(a) - anf(a))/h - (anf(a
+ h) - anf(a))/h)
= limh→0 (f(a)((a + h)n - an)/h - an(f(a
+ h) - f(a))/h)
= nan-1f(a) - anf'(a).
練習: (g(a) ≠ 0 とする)
(1) limh→0 (f(a + 3h) - f(a - 3h))/h.
(2) limx→a (f(2x - a) - f(2a - x))/(x - a).
(3) limh→0 ((1/h)(f(a + 2h)/g(a + 3h) - f(a)/g(a))).
答:
(1) 6f'(a), (2) 3f'(a), (3) (2f'(a)g(a) - 3f(a)g'(a))/g(a)2.