ここで一寸だけ紹介したように級数の収束発散を調べるのに積分と比較する方法がある。
ここでは区分求積法を紹介したので, それに関連した問題と, 所謂 Euler の定数について述べる。
[1] Sn = Σk=1n 1/√k とするとき, 次の各々の極限値を求めよ。
(1) limn→∞ Sn (2) limn→∞ (S2n - Sn)/√n.
解答:
y = 1/√x, x > 0 と置く。
(1) y' = -(1/2)x-3/2 < 0, y'' = (3/4)x-5/2 > 0.
従って graph は下に凸で, 狭義の単調減少函数。
又, Sn = 1/√1 + 1/√2 + 1/√3 + … + 1/√n で, 図の斜線部の多角形の面積に等しい (図は n = 11)。
よって明らかに Sn > ∫1n+1 dx/√x = [2√x] 1n+1= 2√(n + 1) - 2 → +∞ as n → ∞.
従って定義により limn→∞ Sn = +∞ (極限値は存在しない).
(2) limn→∞ (S2n - Sn)/√n
= limn→∞ (1/√n)[(1 + √2 + … + 1/√n + 1/√(n + 1) + … + 1/√(2n)) - (1 +
√2 + … + 1/√n)]
= limn→∞ (1/√n)(1/√(n + 1) + 1/√(n + 2) + … + 1/√(n + n))
= limn→∞ (1/n)(1/√(1 + (1/n)) + 1/√(1 + (2/n)) + … + 1/√(1 + (n/n)))
= ∫01 dx/√(1 + x) = [2√(1 + x)]01 =
2(√2 - 1).
[2] 次の各々の不等式を証明せよ。 但し n は自然数とする。
(1) 1/2 + 1/3 + … + 1/n < log n < 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/(n - 1).
(2) 1 + √2 + √3 + … + √(n - 1) < 2n(√n)/3 < 1 + √2 + √3 + … + √n.
(3) 1/(n + 1) < log(n + 1) - log n < (1/2)(1/n + 1/(n + 1)).
(4) 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n - log n > 1/2.
解答:
(1) y = 1/x, x > 0 と置く。
y' = -1/x2 < 0, y'' = 1/x3 > 0.
従って graph は下に凸で, 狭義の単調減少である。
Sn = 1 + 1/2 + + 1/3 + … + 1/(n - 1) と置くと, Sn
は図の多角形の面積に等しい。
よって graph から明らかに
Sn = 1 + 1/2 + + 1/3 + … + 1/(n - 1) > ∫1n dx/x
= [log x]1n = log n … (a).
次に Tn = 1/2 + 1/3 + … + 1/n と置くと, Tn は次の図の多角形の面積に等しい。
従って明らかに
Tn = 1/2 + 1/3 + … + 1/n < ∫1n dx/x = [log x]1n
= log n … (b).
以上 (a), (b) により 1/2 + 1/3 + … + 1/n < log n < 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/(n - 1) を得る。
(2) y = √x, x > 0 と置く。
y' = 1/(2√x) > 0, y'' = -1/(4x√x) < 0.
従って graph は上に凸の狭義の単調増加函数である。
Sn = 1 + √2 + √3 + … + √(n - 1) と置くと, Sn は図の多角形の面積で与えられる。
図より明らかに Sn = 1 + √2 + √3 + … + √(n - 1) < ∫0n √x dx = [2x3/2/3]0n = 2n(√n)/3.
同様に Tn = 1 + √2 + √3 + … + √n と置くと, Tn は図の多角形の面積で与えられる。
従って Tn = 1 + √2 + √3 + … + √n > ∫0n √x dx = [2x3/2/3]0n = 2n(√n)/3.
以上より 1 + √2 + √3 + … + √(n - 1) < 2n(√n)/3 < 1 + √2 + √3 + … + √n.
(3) y = 1/x, x > 0 と置く。 ここで, 1/(n + 1) と (1/2)(1/n + 1/(n + 1)) を考えると,
図より前者は長方形, 後者は台形の面積となって (図では n = 4) 明らかに
1/(n + 1) < ∫nn+1 dx/x = log(n + 1) - log n < (1/2)(1/n + 1/(n + 1)).
(4) (3) より
| log 2 | - | log 1 | < (1/2)(1 + 1/2) | |
| log 3 | - | log 2 | < (1/2)(1/2 + 1/3) | |
| …… | … | …………… | …………………………… | |
| +) | log n | - | log(n - 1) | < (1/2)(1/n + 1/(n + 1)) |
| -- | ----- | -- | ---------- | ---------------------- |
| log n | < 1/2 + (1/2 + … + 1/(n - 1)) + 1/(2n) |
故に log n < (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n) - (1/2)(1 + 1/n)
即ち 1/2 < (1/2)(1 + 1/n) < 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n - log n.
さて, an = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n - log n と置く。 すると [2] (3) により, an+1 - an = 1/(n + 1) - log(n + 1) + log n < 0. 即ち {an} は単調減少で, しかも (4) によってそれは下方に有界であるから, {an} は収束する。 その極限値
γ = limn→∞ (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n - log n)
= 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ......
を Euler の定数という。
Euler の定数に関しては, 超越数との予想があるが, 実は未だに無理数かどうかすら不明である。 もし有理数だとすれば分子分母とも少なくとも三万桁の整数であるという評価を R. P. Brent (1980) がしている。 C の数値は Adams (1978) が 260 桁までしているが, 近年は computer により二万桁以上求められている。