所謂 「無限積分」 について述べる。
t > a に関して f(x) が [a, t] で可積で, 有限な極限値 limt→+∞∫at f(x) dx が存在するとき, f(x) は [a, +∞) で可積であるといい, この値を ∫a∞ f(x) dx と書く。 同様に ∫-∞b f(x) dx を定義する。 更に有限な値 c と s < c < t に関して f(x) が [s, c], [c, t] の各々で可積で, 有限な極限値 lims→-∞∫sc f(x) dx + limt→+∞∫ct f(x) dx が存在するとき, f(x) は (-∞, +∞) で可積であるといい, この値を ∫-∞∞ f(x) dx と書く。 これらの積分を無限積分 infinite integral という。 無限積分が存在するとき, その積分が収束する converge とも言う。
有限区間での積分と同様, (P)∫-∞∞ f(x) dx = limt→+∞∫-tt f(x) dx を Cauchy の主値積分という。
無限積分は適当な変数変換によって有限区間の広義積分に変換される (例えば x = t/(1 - t) によって x→ +∞ は t = 1-0 に変換される)。 従って無限積分は有限区間の広義積分と同様の性質を持つ。
例: ∫0∞ dx/(1 + x2) = π/2.
x = tan t, -π/2 < t < π/2 と置くと, x = 0 ⇒ t = 0, x→+∞ ⇒ t→π/2-0 で, dx = dt/cos2 t = (1 + tan2t)dt = (1 + x2)dt. 故に lhs = ∫0π/2 dt = π/2.
定理
任意の t > a に対し f(x) が [a, t] で可積であるとき, x→+∞ に対して
f(x) = O(1/xk), k > 1 ならば [a, ∞) での f(x) の無限積分は収束する。
lim infx→∞xkf(x) > 1, k ≦ 1 ならば [a, ∞) での f(x) の無限積分は収束しない。
証明
x→+∞ に対して f(x) = O(1/xk), k ≧ 1 とする。 この時ある正の数 M, K が存在して
x ≧ K ⇒ |f(x)| ≦ M/xk となる。 従って
s > t ≧ K ⇒ |∫st f(x)dx| ≦ M∫st dx/xk
= M(t1-k - s1-k)/(1 - k).
1 - k < 0 だから, s, t → +∞ の時 rhs → 0.
lim infx→∞xkf(x) > 1, k > 1 とする。 この時ある正の数 M, K が存在して
x ≧ K ⇒ |f(x)| ≧ M/xk となる。 従って
s > t ≧ K ⇒ |∫st f(x)dx| ≧ M∫st dx/xk
であるが, この右辺は, k = 1 の時は M log(t/s), k > 1 の時は M(t1-k - s1-k)/(1
- k) となり, 何れにしても収束しない。□
例 [Gamma 函数, gamma function]
s > 0 の時 Γ(s) = ∫0∞ e-xxs-1 dx は絶対収束する。 これを Euler の gamma 函数という。 Gamma 函数は函数等式 Γ(s+1) = sΓ(s) を満たし, 又 n を自然数とするとき n! = Γ(n+1) という関係があるので, 階乗の連続化とも言える。 多くの函数電卓では 1.5! などはこの gamma 函数の値 Γ(2.5) を返すように設定されている。
無限級数 Σ an では, 収束するとき an→0 でなければならなかったが, 無限積分 ∫a∞ f(x) dx では積分が収束しても (無限小 dx を掛けている所為で) f(x)→0 (as x→∞) となるとは限らない。 例えば n ≧ 2 ⇒ (n + 1) - 1/(n + 1)3 > n - 1/n3 だから
f(x) = 0, 0 ≦ x < 2 - 1/8, n + 1/n3 ≦ x < (n + 1) - 1/(n + 1)3,
= n4(x - n + 1/n3), n - 1/n3 ≦ x < n,
= n4(n + 1/n3 - x), n ≦ x < n + 1/n3,
とすると, ∫0∞ f(x) dx = Σn=2∞ 1/n2 (= π2/6 - 1) は収束するが, 明らかに f(n) = n → ∞ (as x → ∞) (即ち lim sup f(x) = ∞).
そのかわり次の定理が成立する。
定理
単調な函数 f(x) の (a, ∞) での無限積分が収束するならば xf(x)→ 0 (as x → ∞).
証明
明らかに f(x) → 0 (as x → ∞). f(x) が単調減少の時は -f(x) を考えれば良いから, f(x) は単調増加と仮定して良い。
この時 x >> 1 で f(x) ≧ 0 が成り立っている。 x > 2|a| の時
∫x/2x f(x) dx ≧ f(x) ∫x/2x dx = xf(x)/2
≧ 0.
しかし, xf(x)→ 0 (as x → ∞) だからといって無限積分は収束しない。 例えば (log log x)' = 1/(x log x) であるが, [e, ∞) で 1/(x log x) は可積ではない。
有限区間の広義積分と同様, 無限積分においても普通の積分と同様の性質が成り立つが, やはり有限区間の広義積分と同様, f, g が可積だからといって, fg や |f| が可積とは限らない。
定理
[a, ∞) で g(x) が有界且つ可積, f(x) が絶対可積ならば, f(x)g(x) は絶対可積。
証明
有界性から |g(x)| ≦ M とすると, t > a に対し, ∫at f(x)g(x) dx が存在して
|∫st f(x)g(x)dx| ≦ ∫st |f(x)g(x)|dx
≦ M∫st |f(x)|dx→0, as t > s→∞.
定理
[a, ∞) で f(x) が可積, 任意の t > a に対して [a, t] で g(x) ≧ 0 が可積な減少函数であるならば, f(x)g(x) は [a, ∞) で可積。
証明
Bonnet の第二平均値の定理によって
|∫st f(x)g(x)dx| = g(t)|∫sc f(x)dx|
≦ g(a)|∫sc f(x)dx|→0 as t > c > s→∞.
定理
可積な g(x) ≧ 0 が x→∞ の時単調に 0 に収束し, ∫at f(x)dx が [a, ∞) で有界ならば, ∫a∞ f(x)g(x)dx は収束する
証明
有界性から |∫at f(x)dx| ≦ M とすると,
Bonnet の第二平均値の定理によって
|∫st f(x)g(x)dx| = g(t)|∫sc f(x)dx|
≦ g(t)(|∫as f(x) dx| + |∫ac f(x) dx|)
≦ 2Mg(t)→0 as s→∞.
定理 [Cauchy-Maclaurin]
f(x) が [0, ∞) で定義され, 任意の t > 0 に対し [0, t] で可積な単調函数ならば, ∫a∞ f(x)dx と Σn=1∞ f(n) とは同時に収束又は発散する。
証明
f(x) が減少函数ならば -f(x) を代わりに考えれば良いから, f(x) は増加函数だとして一般性を失わない。 limx→∞f(x)
= 0 でないとすると, ∫nn+1f(x)dx ≧ f(n) であるから, 積分も級数も共に発散する。
limx→∞f(x) = 0 とするとき, 単調増加だから f(x) ≦ 0 である。 この時 t ≧ 1 を任意にとると
Gauß 記号 [t] を用いて
∫1t f(x) dx ≧ Σn=1[t] f(n) ≧ ∫0t-1
f(x) dx.
例
Cauchy-Maclaurin の定理によって f(x) = 1/(x + 1) を考えれば ∫0∞ dx/(1 + x) = [log(1 + x)]0∞ = log∞ - log 1 = ∞ であるから Σn=1∞ 1/(1 + n) は発散する。 従って Σn=1∞ 1/n = 1 + Σn=1∞ 1/(1 + n) も発散する。