一次分数変換

この page では係数は C で良い。 本来ここに述べることは補足に属すべきことかもしれない。

今 x ∈ C (又は R) とするとき

y = (a₁₁x + a₁₂)/(a₂₁x + a₂₂), 但し a₁₁a₂₂ - a₂₁a₁₂ ≠ 0

を一次分数変換 linear fractional transformation といい, A = (a_jk) をこの一次分数変換を表す行列という。 仮定によって A は正則だが, この仮定は 一次分数変換が実は定数変換だったということを除外している (各自確かめよ)。 さて

f(x) = (a₁₁x + a₁₂)/(a₂₁x + a₂₂),
g(x) = (b₁₁x + b₁₂)/(b₂₁x + b₂₂)

と置く。 この時

(f_°g)(x) = f(g(x)) = (a₁₁g(x) + a₁₂)/(a₂₁g(x) + a₂₂)
= (a₁₁((b₁₁x + b₁₂)/(b₂₁x + b₂₂)) + a₁₂)/(a₂₁((b₁₁x + b₁₂)/(b₂₁x + b₂₂)) + a₂₂)
= (a₁₁(b₁₁x + b₁₂) + a₁₂(b₂₁x + b₂₂))/(a₂₁(b₁₁x + b₁₂) + a₂₂(b₂₁x + b₂₂))
= ((a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁)x + (a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂))/((a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁)x + (a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂))

となる。 これを良く見ると, f_°g を表す行列は f と g を表す行列の積であることが分かる。

これから連分数の計算などの興味深い内容が導かれるが, ここでは割愛する。 興味ある読者は参考文献を見ること。

参考文献:

岩堀長慶 「2 次行列の世界」 岩波書店, 数学入門シリーズ 4, 1983.

高木貞治 「初等整数論講義 第二版」 共立出版, 1971.

(もっと新しくて良い本があったら教えてください)

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