三次元 Euclid 空間論

Vectors を用いて Euclid 空間論を打ち立てることも出来る (そちらの方が現代的か) が, ここでは逆に Euclid 空間論を基礎にしているので, ここで Euclid 空間論の復習をする。 Vectors を基礎とする立場を採る人は必ずしもここを読む必要はない。

公理:

相異なる二点を通る直線は唯一本に定まる。
同一直線上にない三点を通る平面は唯一つに定まる。
同一平面上の相異なる二点を通る直線は, 最初の平面に含まれる。
(P₁, P₂ ∈ α, P₁ ≠ P₂ ⇒ l = P₁∪P₂ ∈ α)

よって次のことが分かる。

定理

平面は
　i) 一直線とその上にない一点
又は
　ii) 交わる二直線
で決定する。

以下, 平面上の Euclid 幾何の公理は仮定する。

公理: 4. 或る一つの平面を考える。この平面上にない点が存在する。
　　　(∃P ￢(P ∈ α)).

従って

定理

平面上の一点 P と, 平面上にない一点とを結んで出来る直線との交点は唯一点 P である。
(P ∈ α, ￢(Q ∈ α), l = P∪Q ⇒ l∩α = P)

公理:

二つの相異なる平面が共有点を持てば, それらは直線を共有する。
(α∩β ≠Æ ⇒ ∃l = α∩β)
与えられた平面と, その上にない一点が与えられているとき, その点を通り, 与えられた平面と交わらない平面が唯一つ存在する。
(￢(P∈α) ∃!β∋P & α∩β = Æ).

この公理 6 の二平面 α と β は平行である parallel といい, α || β と書く。従って

定理

平面外の一点を通り, 元の平面と交わらない直線が存在する。
(￢(α∋P)∃l∩α = Æ)

この α と l は平行であるといい l || α と書く。

注意:

l || α, l || β でも α || β とは限らない。

同様に, l || α, m|| α であっても l || m とは限らない。

定義

・同一平面上にあり, 交わらない相異なる二直線を平行であるといい, l || m と書く。
・交わることもなく, 平行でもない二直線はねじれの位置 twisted position, skew position にあるといわれる。

定義

直線 l と平面 α が垂直 perpendicular l ⊥ α とは
P = l ∩α を通り, α に含まれる全ての直線 m に対し l ⊥m となること
である。
(l ⊥ α ⇔ ∃P = l ∩α & P ∈∀m ⊂ α(l⊥m)).

定理

直線 l とそれに交わる平面 α について P = l ∩α とする。この時

l ⊥ α ⇔ ∃m₁, m₂ ⊂ α(m₁ ≠ m₂, P∈m_i & l⊥m_i).

証明:

l ⊥ α の十分性は明らか。

必要性: P∈∀n ⊂ α を採る。
￢P∈g, g ⊂ α, ∃Ai = g∩m_i, B = g∩n とする。

P ≠ Q ∈ l を採り,
Q ≠ Q' ∈ l (PQ = PQ')
とする。

この時 △A_iQQ' は二等辺三角形であることは容易に分かる。しかも直ぐに
△A_iQB ≡ △A_iQ'B
も分かる。

従って QB = Q'B であるから, PQ = PQ' と合わせて
l = Q∪Q' ⊥P∪B = n□

[三垂線の定理]

平面 α とその上にない一点 P, 直線 l ⊂ α と A ∈ l を与える。
この時 P' ∈ α に関し次の三つが成立する。

P∪A ⊥l, P'∪A ⊥l, P∪P'⊥P'∪A ⇒ P∪P'⊥α

P∪P'⊥α, P∪A ⊥l ⇒ P'∪A ⊥l.

P∪P'⊥α, P'∪A ⊥l ⇒ P∪A ⊥l.

証明:

1. P∪A ⊥l, P'∪A ⊥l
⇒ P∪P'∪A⊥l
⇒ P∪P'⊥l.

& P∪P'⊥P'∪A.

∴P∪P'⊥α (= l∪(P'∪A)).

2. P∪P'⊥α ⇒ P∪P'⊥l
(これは α 内で P' ∈ l' となる l || l' を引いたとき l'⊥P∪P' ということを意味している)

& P∪A ⊥l.

∴P∪P'∪A⊥l.
∴P'∪A⊥l.

3. P∪P'⊥α ⇒ P∪P'⊥l.

& P'∪A ⊥l

∴P∪P'∪A⊥l.
∴P∪A ⊥l□

この時点 P' を「点 P の平面 α への正射影 orthogonal projection」又は「点 P から平面 α に降ろした垂線の足 foot of perpendicular」という。

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