行列と体積

原点 O と, 与えられた一次独立な vectors a₁, a₂, a₃ (a_i = (a_i1, a_i2, a_i3)) の作る平行六面体の体積を考える。

求める体積を V, 又 a₁, a₂ で張られる平行四辺形 (図で紅く塗ってある所) の面積を S と置こう。 この時 S = |a₁×a₂| = |a₁||a₂|sin∠(a₁, a₂) だった。

求める体積は, 図に見られるように

V = S・|a₃||cos φ| = |a₁×a₂|・|a₃||cos φ| = abs((a₁×a₂)・a₃) = abs

となる (abs は絶対値をとるという意味)。

ここで, 三つの vectors a, b, c から一つの scalar (a×b)・c を作る操作

[a b c] = (a×b)・c

をスカラー三重積 scalar triple product という (この記号 [a b c] を Grassmann 記号と言う)。 行列式の交代性によって

[a b c] = -[a c b] = [c a b] = -[c b a] = [b c a] = -[b a c].

特に, [a b c] = [b c a] から a×b・c = b×c・a = a・b×c. つまり × と ・ を交換出来る。

又, scalar triple product はその三つの vector が張る平行六面体の体積 (に符号をつけたもの) に等しいので, 明らかに

a, b, c が一次従属 ⇔ [a b c] = 0.

さて又, Gram(a, b, c) = [a b c]² を Gram の行列式 Gramian というが,

Gram(a, b, c) = [a b c]² = |a b c| =

であり

√Gram(a, b, c) = |[a b c]| = |a×b|・|c||cos φ| = |a||b|sin θ|c||cos φ| = |a||b||c|sin θ|cos φ| ≦ |a||b||c|.

であって, 等号は θ = π/2, φ = 0 の時 即ち a⊥b⊥c⊥a 言い換えれば a, b, c の張る平行六面体が直方体であるときに限る。 この不等式

√Gram(a, b, c) ≦ |a||b||c|

を Hadamard (アダマール) の不等式という。

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