(3 点)
第一問 (必答 30 点)
(1)
(3 点)
(3 点)
これらの辺々を足して 2 で割ると
(4点)
(2) 30° ≦ 2θ ≦ 120° で 1/2 ≦ sin 2θ ≦ 1 だから
θ= 45° のとき sin 2θ = 1 なので最小値 2,
θ= 15° のとき sin 2θ = 1/2 なので最大値 4.
(各 2 点計 8 点)
内容的には簡単な三角函数の計算だが, このやり方はあまり普通とはいえない。
より 5X2 + 4X - 1 = 0. (各 2 点計 4 点)
定義より X > 0 (2 点) であり, 因数分解すると (5X - 1)(X + 1) = 0. 従って, X = 1/5 (2 点)。
従って
(4 点)
基本的な指数対数の問題である。
第二問 (必答 30 点)
y' = 2x であるから y'|x = a = 2a である。 従って
l : y = 2a(x - a) + a2 = 2ax - 2a2 + a2.
即ち y = 2ax - a2.
ここで x = 0 と置くと y = -a2. 即ち Q(0, -a2) (3 点)。
y 軸との成す角が 30°であるから
2a = y'|x = a = tan(90°- 30°)
= tan 60°= √3.
(3 点)
このとき 
,
であるから
(3 点)
結局 
であり下記のグラフから対称性を用いて
(6 点)
多少計算が面倒だが, 微分積分としては普通の問題。
0° ≦ θ ≦ 210° より
sin 210° ≦ sin θ≦ 1.
- sin 30° ≦ x ≦ 1 即ち 
(-1/2 が 2 点, 1 が 1 点)
y' = -6x2 + 3 = -3(2x2 - 1). よって増減表は
| x | -1/2 |  |
1 | ||
| y' | (3/2) | + | 0 | - | (-3) |
| y | -5/4 | ↑ | 極大 |
↓ | 1 |
より x =
のとき最大値 ,
x = -1/2 のとき最小値 -5/4. (各 2 点計 8 点)。
θ で見ると, x =
とは即ち sin θ =
で 0° ≦ θ ≦ 210° より θ = 45°, 135° のとき最大 (各 1
点計 2 点), x = -1/2 とは即ち sin θ = -1/2 で 0° ≦ θ ≦ 210° より
θ = 210° のとき最小 (2 点)。
一寸面倒なだけで標準的な問題。
第三問 (選択 20 点) [数学 B]
本問では vectors はすべて太字斜体を用いる。
OP = (2/3)OL = (2/3)l,
OQ = (OM + ON)/2 = (m + n)/2,
OR = aON = an,
OS = (1 - b)OL + bOM = (1 - b)l
+ bm.
(1) RS = OS - OR = (1 - b)l
+ bm - an, (3 点)
RP = OP - OR = (2/3)l
- an, (2 点)
RQ = OQ - OR = (m + n)/2
- an =(1/2)m + (1/2 - a)n. (3 点)
(2) RS = xRP + yRQ とすると
(1 - b)l + bm - an = x((2/3)l - an) + y((1/2)m
+ (1/2 - a)n.)
= (2x/3)l + (y/2)m
+ (-ax + (1/2 - a)y)n..
l, m. n は一次独立だから,
2x/3 = 1 - b,
y/2 = b,
-ax + (1/2 - a)y = -a.
即ち x = (3/2)(1 - b), y = 2b (各 2 点計 4 点). これらを三番目の式に代入して
(-3a/2)(1 - b) + 2b(1/2 - a) = -a. (辺々 2 倍する)
-3a(1 - b) + 2b(1 - 2a) = -2a.
-3a + 3ab + 2b - 4ab = -2a.
-ab - a + 2b = 0.
∴ ab + a - 2b = 0 ……… (a) (4 点)
ここで RP ⊥ RQ とすると, RP・RQ
= 0.
((2/3)l
- an)・((1/2)m + (1/2 - a)n) = 0.
∴ a(1/2 - a) = 0.
0 < a < 1 より a = 1/2. (1 点)
式 (a) に代入して
b/2 + 1/2 - 2b = 0. (辺々を 2 倍する)
b + 1 - 4b = 0.
b = 1/3. (1 点)
このとき
PQ = OQ - OP = (m + n)/2
- (2/3)l = (-4l + 3m + 3n)/6,
RS = (2/3)l + m/3 - n/2
= (4l + 2m - 3n)/6.
従って
PQ・RS = (-4l + 3m + 3n)・(4l
+ 2m - 3n)/36
=(-16l2 + 6m2 - 9n2)/36
=(-16 + 6 - 9)/36 = -19/36. (2 点)
空間の vector の問題だが, 特に三次元に固有の特徴は --- 三次元だから三つの一次独立な vectors が採れることを除いて --- 使ってないので, 地道に計算していけばできる。
第四問 (選択 20 点) [数学 B]
(1)
(各 2 点計 4 点) [ 45° は図を描いて求める]
de Moivre の公式より
z3 = r3(cos 3θ + i sin 3θ).
従って
r3 = 2 = 23/2,
r > 0.
3θ = 45° + 360°×n, n は整数
となる。 故に
r = ,
(2 点)
θ = 15° + 120°×n, n は整数
ここで 0° ≦ θ < 360° より θ = 15°, 135°, 255°. (各 2 点計 4 点)
第二象限の角は 135°であるから
z = (cos 135°+ i sin 135°)
= (-+
i×) = -1
+ i. (2 点)
(2) (z3 - 2)2 = -4 であるから (1 点), z3 - 2 = ±2i, 即ち z3 = 2 ± 2i (1 点).
複号の - の方を考えると, (1) と同様にして
arg(2 - 2i) = -45°+ 360°×n, n は整数。
従って
arg(z) = -15°+ 120°×n, n は整数。
0°≦ arg(z) < 360° とすると arg(z) = 105°, 225°, 345°.
第二象限であるならば arg(z) = 105° = 60°+ 45°.
三角函数の加法公式より
なので,
(各 2 点計 4 点)
偏角を調べると他の解は
第一象限に 1 (15 度), 第三象限に 2 (255 度と 225 度)(1
点), 第四象限に 1 (345 度)(1 点) あることがわかる。
数学 B の複素数の問題としては普通であろうか。 三角函数の加法公式を用いねばならないので当然数学 II の知識が必要である。
第五問 (選択 20 点) [数学 B]
(1) 0, 1, 2 の 3 通り。 (1 点)
(2) X = 2 の確率は
(2
点)
X = 2 のもとでの Y = 1 の確率は (2×2×4)/(6×6) = 4/9.
(2 点)
X = 2, Y = 1 の確率は(3/8)×(4/9) = 1/6. (2 点)
Y = 1 となる確率は 1/6 + 1/8 + 1/18 = (12 + 9 + 4)/72 = 25/72.
(3 点)
(3) 1 - (25/72) - (5/72) - (1/216)
= 1 - (30/72) - (1/216)
= (216 - 90 - 1)/216 = 125/216. (3 点)
(4) 25/72 + 2×5/72 + 3×1/216
= (25 + 10 +1)/72 = 36/72 = 1/2. (4 点)
(5) P(X = 2 | Y = 0) = P(X = 2 ∩ Y = 0)/P(Y = 0)
= ((3/8)×(4×4)/(6×6))/(125/216) = (1/6)/(125/216)
= 36/216. (3 点)
(1) から (4) は基本的な問題。 (5) の条件付確率ははっきりいって慣れてないと出来ない。 --- 因みに私も出来なかった (笑)。
第六問 (選択 20 点) [数学 B]
(1) 100 A = a1 = 1, B = a2 = 1, C = 1
110 N = 6
120 S = 1
130 J = 3
140 A = 1 + [1/1] = 2
150 a(3) = 2 (2 点)
160 B = 2
170 S = 1 + 2 = 3
130 J = 4
140 A = 2 + [3/1] = 5
150 a(4) = 5 (2 点)
160 B = 5
170 S = 8 + 13 = 21 (2 点)
130 J = 5
140 A = 5 + [8/1] = 13
150 a(5) = 13 (2 点)
160 B = 13
170 S = 21 + 34 = 55
190 END.
(2) a1 = 1, a2 = 1, c = 1
s1 = a1 = 1
a3 = a2 +[s1/1] = 1 + [1/1] = 1+1 = 2
s2 = s1 + a2 = 1 + 1 = 2
a4 = a3 + [s2/1] = 2 + [2/1] = 4
s3 = s2 + a3 = 2 + 2 = 4
a5 = a4 + [s3/1] = 4 + 4 = 8
s4 = s3 + a4 = 4 + 4 = 8
a6 = a5 + [s4/1] = 8 + 8 = 16
(3) (2) を見てみると, s の方の計算が間違っていることが分かる。 (1) での B は an-1 を入れていることが分かるが, s を計算するときに値を変える timing が誤っているのである。 従ってシが 5, スが 1 である。
(4) 100 A = a1 = 1, B = a2 = 1, c = 2
110 N = 6
120 S = A = 1
130 J = 3
140 A = 1 + [1/2] = 1
150 a(3) = 1
160 S = 1 + 1 = 2
170 B = 1
130 J = 4
140 A = 1 + [2/2] = 2
150 a(4) = 2
160 S = 2 + 1 = 3
170 B = 2
130 J = 5
140 A = 2 + [3/2] = 3
150 a(5) = 3
160 S = 3 + 2 = 5
170 B = 3 (2 点)
130 J = 6
140 A = 3 + [5/2] = 5
150 a(6) = 5
160 S = 5 + 3 = 8
170 B = 5
190 END
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