2002 年 数学 I ・ A 解答と解説

第一問 (必答 40 点)

[1]

(1) (1, -4) を代入して

-4 = -4 + 4(a - 1) - a²
　　= -4 + 4a - 4 - a²

a² - 4a + 4 = (a - 2)² = 0.

∴a = 2 (3 点)

(2) y = -4x² + 4(a - 1)x - a²
　　　= -4(x² - (a - 1)x) - a²
　　　= -4((x - (a-1)/2)² - ((a-1)/2)²) - a²
　　　= -4(x - (a-1)/2)² + a² - 2a + 1 - a²
　　　= -4(x - (a-1)/2)² - 2a + 1.

だから頂点は ((a - 1)/2, -2a + 1) (x 座標 2 点, y 座標 2 点).

(3) -1 < (a-1)/2 ≦ 1 とすると
-2 < a - 1 ≦ 2.

元から a > 1 なので
1 < a ≦ 3 (3 点). このとき最大値は頂点の y 座標になるので -2a + 1 (2 点).

a ≧ 3 ならば (graph を描いてみれば分かるように) 最大値は x = 1 の時に現れ, その値は

-4 + 4(a - 1) - a² = -a² + 4a - 8 (2 点).

最小値は a > 1 ならば常に x = -1 の時に現れ, その値は

-4 - 4(a - 1) - a² = -a² - 4a (3 点).

最大値と最小値の差は

1 < a ≦ 3
⇒
-2a + 1 - (-a² - 4a) = a² + 2a + 1 = (a + 1)².

(a + 1)² = 12 と置くと a + 1 = ±√12 = ±2√3.

a = -1 ±2√3.

1 < a ≦ 3 で 2.25 < 3 < 4 より 1.5 < √3 < 2 ∴3 < 2√3 < 4 だから 2 < -1 + 2√3 < 3 であるから a = -1 + 2√3.

a > 3
⇒
-a² + 4a - 8 - (-a² - 4a) = 8a - 8 = 8(a - 1).

8(a - 1) = 12 と置くと 2(a - 1) = 3. 2a = 5 より a = 5/2 だが不適。

従って a = -1 ± 2√3. (3 点)

場合分けに気をつける必要があるかもしれないが, 普通の問題であろう。

[2]

(1) 1/6 × ₄C₂/₇C₂ = 1/6 × 4×3/(7×6) = 1/21. (5 点)

(2) 積が 4 になる場合は 1×(2×2) か 2×(1×2) しかあり得ないので

2/6 × ₂C₂/₇C₂ + 3/6 × 1×₂C₁/₇C₂
= 1/3 × 2×1/(7×6) + 1/2 × 1×2/(7×6/(2×1))
= 1/63 + 1/21 = 4/63. (5点)

(3) 少なくとも一枚が 0 であればよいのだから

1 - 5/6 × ₃C₂/₇C₂ = 1 - 5/6 × 3×2/(7×6) = 1 - 5/42 = 37/42. (5 点)

(4) 積は 0, 2, 4, 8 しかあり得ないので, それで計算する。

2×2/6×1×2/₇C₂ + 4×4/63 + 8× 3/6×₂C₂/₇C₂
= 2×1/3 × 1×2/(7×6/(2×1)) + 16/63 + 4 × 2×1/(7×6)
= 4/63 + 16/63 + 4/21 = 32/63. (5 点)

前から確率の問題は不得意なのだが, (2) では分母を 2×1 で割るのを忘れるし, (3) では 「少なくとも」 に気付かず大変な計算をしてしまった。 昨年よりは難しい問題になっているような気がする。

第二問 (必答 40 点)

[1]

(1) A² + B²
= (x² + ax + b)² + (x² + x + 1)²
= x⁴ + 2ax³ + (a² + 2b)x² + 2ax + b²
+ x⁴ + 2x³ + 　　　3x² +　　　2x + 1

= 2x⁴ + 2(a + 1)x³ + (a² + 2b + 3)x² + 2(ab + 1)x + b² + 1

これが 2x⁴ + 6x³ + 3x² + cx + d と等しい式になるのだから, 係数を比較して

2(a + 1) = 6,
a² + 2b + 3 = 3,
2(ab + 1) = c,
b² + 1 = d.

最初の式から a + 1 = 3 より a = 2 (2 点)

これと二番目の式から a² + 2b = 0 より 4 + 2b = 0 ∴b = -2. (2 点)

これらと三番目の式から c = 2×(-4 + 1) = -6. (2 点)

同様に四番目の式から d = 4 + 1 = 5. (2 点)

(2) A² - B²
= (A - B)(A + B)
= ((a - 1)x + (b - 1))(2x² + (a + 1)x + b + 1). (2 点)

A - B が x - 1 で割り切れるということは因数定理により x = 1 を代入して

a - 1 + b - 1 = 0 即ち a + b - 2 = 0. これは選択肢の 2 番である (2 点)

同様に A + B が x - 1 で割り切れるのは因数定理により x = 1 を代入して

2 + (a + 1) + b + 1 = 0 即ち a + b + 4 = 0. これは選択肢の 3 番である (2 点)

さて a + b - 2 = 0 と a + b + 4 = 0 を同時に満たすような a, b は存在しない (というのは前の方だと a + b = 2 だが, 後ろの方は a + b = -4 を主張しているので同じ a + b が同時に 2 になったり -4 になったりするのは不可能であるから)。 従って問題にあるように A² - B² が (x - 1)² で割り切れるとすれば, それは A + B が (x - 1)² で割り切れる時に限る。 ところが A + B は二次式で, 二次の係数が 2 であるから即ち

A + B = 2(x - 1)² = 2(x² - 2x + 1) = 2x² - 4x + 2

であることを示しているので, 最初の式と比較して

a + 1 = -4,
b + 1 = 2.

即ち

a = -5 (2 点),
b = 1 (2 点).

従って最初の式から
A² - B² = (-6x)×2(x - 1)² = -12x(x - 1)². (2 点)

公式 (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca を知っていた方が有利ではあろうが, 落ち着いてやれば難しくない。

[2] (第二) 余弦公式から

AC² = AB² + BC² - 2AB・BC cos ∠ABC
　　　= ((√3) - 1)² + ((√3) + 1)² - 2((√3) - 1)((√3) + 1)×(-1/4)
　　　= 4 - 2√3 + 4 + 2√3 - 2×2×(-1/4)
　　　= 9.

AC > 0 より AC = 3. (4 点)

sin²∠ABC + cos²∠ABC = 1 なので

sin²∠ABC = 1 - cos²∠ABC = 1 - 1/16 = 15/16.

0 < ∠ABC < 180゜ なので sin ∠ABC > 0 故 sin ∠ABC = (√15)/4.

正弦公式から

R = AC/(2sin∠ABC) = 3/(2×(√15)/4) = 6/√15 = (6√15)/15 = (2√15)/5. (4 点)

円に内接する四角形の内対角の和は 2∠R (= 180゜) なので

ΔACD = (1/2)AD・CD sin∠ADC = (1/2)AD・CD sin(2∠R - ∠ABC)
　　　　　= (1/2)AD・CD sin∠ABC.

一方 ΔABC = (1/2)AB・BCsin∠ABC = (1/2)((√3) - 1)((√3) + 1)sin∠ABC.

条件より ΔACD = 3ΔABC なので

(1/2)AD・CD sin∠ABC = (3/2)((√3) - 1)((√3) + 1)sin∠ABC.

AD×CD = 3×2 = 6. (4 点)

再び(第二) 余弦公式から

AC² = AD² + CD² - 2AD・CD cos∠ADC
9 = AD² + CD² - 2×6 cos(2∠R - ∠ABC)
9 = AD² + CD² + 2×6 cos∠ABC
9 = AD² + CD² + 2×6×(-1/4)
9 = AD² + CD² - 3.

∴AD² + CD² = 12. (4 点)

さて AD²×CD² = (AD×CD)² = 36 だから, 二次方程式の解と係数の関係から AD² と CD² は方程式 x² - 12x + 36 = (x - 6)² = 0 の二解だから, AD > 0, CD > 0 より AD = CD = √6.

故, 四角形 ABCD の周長は
((√3) - 1) + ((√3) + 1) + 2√6 = 2√6 + 2√3. (4 点)

正弦公式, 余弦公式はすぐに思いついただろうが, 多分中学の時に習った円に内接する四角形の性質や, 図形とは直接関係ない二次方程式の解と係数の関係などを用いるので, 慣れていないと戸惑ったかもしれない。

第三問 (選択 20 点)

(1) a₂ = -a₁/2 より公比は -1/2 (2 点).

a₁ + a₂ + a₃ = a₁ - (1/2)a₁ + (1/4)a₁ = ((4 - 2 + 1)/4)a₁ = (3/4)a₁

でこれが 9/4 なのだから a₁ = 3.

a₄ + a₅ + a₆ = a₁₊₃ + a₂₊₃ + a₃₊₃ = (-1/2)³(a₁ + a₂ + a₃)
= -1/8 × 9/4 = -9/32 (4 点).

= (1 - (-2)ⁿ)/9 = 57.
1 - (-2)ⁿ = 513.
(-2)ⁿ = -512 = (-2)⁹.

∴n = 9. (4 点)

(2) {b_n} は初項 p + q, 公差 p の等差数列だから
S_n = (pn + p + 2q)n/2.

b₇ = 7p + q = 1
S₁₂ = 6(13p + 2q) = 10.

下の方から 3(13p + 2q) = 5. だから 39p + 6q = 5. 連立させて 6b₇ を引けば 3p = 1. ∴p = 1/3 (3 点). b₇ の式に代入して 7/3 + q = 1 より q = -4/3 (3 点).

S₁ + S₂ + … + S₁₂ = Σ_k=1 ¹² S_k
= (1/2)Σ_k=1 ¹² (((1/3)k + 1/3 - 8/3)k)
= (1/6)Σ_k=1 ¹² ((k - 7)k)
= (1/6)Σ_k=1 ¹² (k² - 7k)
= (1/6)(12×13×25/6 - 7 ×12×13/2)
= (1/3)×13×(25 - 21) = 13×4/3
= 52/3. (4 点)

{b_n} が等差数列だと分からなければ Σ の公式を用いればよい。 基本的な問題と言えよう。

第四問 (選択 20 点)

(この問題は図を描かないと極めて分かりにくいが, 私の環境では図が上手く描けないので, 図は各自描いてもらうということでお許し願いたい)

AD は∠CAB を二等分しているので

∠HAI = ∠BAI (3 点)
= ∠BED.

∠AHI = ∠EBD = 90゜(∠EBD は直径 ED の円周角だから).

従って ΔAHI ∽ ΔEBD (二角相当) で

ED: AI = BD : HI (4 点).

∴AI・BD = ED・HI = 2R・r = 2rR … (1)

ΔDBI で

∠DIB = ∠IAB + ∠IBA (3 点)(外角)
∠DBI = ∠DBC + ∠IBC,
∠IBA = ∠IBC (I が内心だから).

以上より

∠DIB = ∠DBI. (3 点)

従って ΔDBI は二等辺三角形となり

BD = ID … (2)

∠IFD = ∠GFD = ∠IAG (弧DCG の円周角),
∠FID = ∠AIG (対頂角)

だから ΔIFD ∽ ΔIAG で AI : FI = GI : DI. 即ち

AI・DI = FI・GI (4 点)
　　　　= (FO + OI)(GO - OI)
　　　　= R² - OI² … (3)

(1), (2), (3) より

2rR = AI・BD = AI・ID
　　= R² - OI².

∴OI² = R² - 2rR. つまり選択肢で言うと 4 (3 点)

かなり複雑ではあるが, 誘導されているので, 証明に慣れてさえいればそれほど困難なく解けるであろう。

第五問 (選択 20 点)

アイウ 190
エオカ 210

(1) y = -x² + 7x + 28
　　　= -(x² - 7x) + 28
　　　= -((x - 7/2)² - 49/4) + 28.

x = 7 ⇒ y = -49 + 49 + 28 = 28
x = 8 ⇒ y = -64 + 56 + 28 = 20 ⇒ U = 20.
x = 9 ⇒ y = -81 + 63 + 28 = 10 ⇒ U = 10.

より キ 2 回 (2 点).

x = 0 ⇒ y = 28
x = 1 ⇒ y = -1 + 7 + 28 = 34 ⇒ V = 34
x = 2 ⇒ y = -4 + 14 + 28 = 38 ⇒ V = 38
x = 3 ⇒ y = -9 + 21 + 28 = 40 ⇒ V = 40
x = 4 ⇒ y = -16 + 28 + 28 = 40 (V は変わらない)

だから ク 3 回 (2 点)

最小値 10 (1 点)
最大値 40 (1 点)

ス は x = 0 の時と x = 7 の時が増えるので 4 回 (2 点)
セ は x = 0 の時と x = 4 の時が増えるので 5 回 (2 点)

ソタ, チツ は ケコ, サシと同じ (各 1 点)

(2) テ 1, ト 3.

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