Sunday, 18th January, 2009.
11:15 -- 12:15 (1hr)
平均 63.96
第一問 (20 点)
[1] 整式 A = 6x2 + 5xy + y2 + 2x - y - 20 を因数分解すると
A = ([ ア ]x + y + [ イ ])([ ウ ]x + y - [ エ ])
となる。
x = -1, y = 2/(3 - √7) の時, A の値は [ オカキ ] である。
[2] 実数 a に関する条件 p, q, r を次のように定める。
p: a2 ≧ 2a + 8
q: a ≦ -2 又は a ≧ 4
r: a ≧ 5
(1) 次の [ ク ] に当てはまるものを, 下の 0 〜 3 のうちから一つ選べ。
q は p である為の [ ク ]。
0 必要十分条件である
1 必要条件であるが, 十分条件でない
2 十分条件であるが, 必要条件でない
3 必要条件でも十分条件でもない
(2) 条件 q の否定を`q, 条件 r の否定を`r で表す。
次の [ ケ ] , [ コ ] に当てはまるものを, 下の 0 〜 3 のうちから一つずつ選べ。 但し, 同じものを繰り返し選んでも良い。
命題 「p ならば [ ケ ]」 は真である。
命題「[ コ ] ならば p」 は真である。
0 q 且つ`r
1 q 又は`r
2`q 且つ`r
3`q 又は`r
第二問 (25 点)
a を定数とし, x の二次函数
y = 2x2 - 4(a + 1)x + 10a + 1 ……… (1)
のグラフを G とする。
グラフ G の頂点の座標を a を用いて表すと
(a + [ ア ], [ イウ ]a2 + [ エ ]a - [ オ ])
である。
(1) グラフ G が x 軸と接するのは
a = ([ カ ] ±√[ キ ])/[ ク ]
の時である。
函数 (1) の -1 ≦ x ≦ 3 に於ける最小値を m とする。
m = [ イウ ]a2 + [ エ ]a - [ オ ]
となるのは
[ ケコ ]≦ a ≦ [ サ ]
の時である。 又
a < [ ケコ ] の時 m = [ シス ]a + [ セ ]
[ サ ] < a の時 m = [ ソタ ]a + [ チ ]
である。
従って, m = 7/9 となるのは
a = [ ツ ]/[ テ ], [ トナ ]/[ ニ ]
のときである。
第三問 (30 点)
△ABC において, AB = 1, BC = √7, AC = 2 とし, ∠CAB の二等分線と辺 BC との交点を D とする。
この時, ∠CAB = [ アイウ ]°であり,
BD = (√[ エ ])/[ オ ], CD = ([ カ ]√[ キ ])/[ ク ]
である。
参考図
AD の延長と △ABC の外接円 O との交点のうち A と異なる方を E とする。 このとき, ∠DAB と等しい角は, 次の 0〜4 のうち [ ケ ] と [ コ ] である。 但し, [ ケ ] と [ コ ] の回答の順序は問わない。
0 ∠DBE 1 ∠ABD 2 ∠DEC 3 ∠CDE 4 ∠BEC
これより, BE = √[ サ ] である。 又, DE = [ シ ]/[ ス ] である。
次に, △BED の外接円の中心を O' とすると
O'B = ([ セ ]√[ ソ ])/[ タ ] であり
tan∠EBO' = (√[ チ ])/[ ツ ] である。
第四問 (25 点)
さいころを繰り返し投げ, 出た目の数を数えていく。 その合計が 4 以上になったところで投げることを終了する。
(1) 1 の目が出たところで終了する目の出方は [ ア ] 通りである。
2 の目が出たところで終了する目の出方は [ イ ] 通りである。
3 の目が出たところで終了する目の出方は [ ウ ] 通りである。
4 の目が出たところで終了する目の出方は [ エ ] 通りである。
(2) 投げる回数が一回で終了する確率は [ オ ]/[ カ ] であり, 二回で終了する確率は [ キ ]/[ クケ ] である。 終了するまでに投げる回数が最も多いのは [ コ ] 回であり, 投げる回数が [ コ ] 回で終了する確率は [ サ ]/[ シスセ ] である。 終了するまでに投げる回数の期待値は [ ソタチ ]/[ ] である。
(3) 文字の列の字数が 3 となる確率は /[ サ ] であり, 字数が 2 となる確率は [ シ ]/[ スセ ] である。 又, 文字の列の字数の期待値は [ ソタチ ]/[ ツテト ] である。
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