Sunday, 17th January, 2010.
11:15 -- 12:15 (1hr)
平均 49.96
第一問 (20 点)
[1] α = ((√7) - √3)/((√7) + √3) とする。 α の分母を有理化すると
α = ([ ア ] - √[ イウ ])/[ エ ]
となる。
二次方程式 6x2 - 7x + 1 = 0 の解は
x = [ オ ]/[ カ ], [ キ ]
である。
次の 0 から 3 の数の内最も小さいものは [ ク ] である。
0 ([ ア ] - √[ イウ ])/[ エ ]
1 [ エ ]/([ ア ] - √[ イウ ])
2 [ オ ]/[ カ ]
3 [ キ ]
[2] 次の [ ケ ]〜[ サ ] に当てはまるものを, 下の 0 から 3 の内から一つずつ選べ。 但し, 同じものを繰り返し選んでも良い。 又, [ シ ] に当てはまるものを, 下の 4 から 7 の内から一つ選べ。。
自然数 n に関する条件 p, q, r, s を次のように定める。
p: n は 5 で割ると 1 余る数である
q: n は 10 で割ると 1 余る数である
r: n は奇数である
s: n は 2 より大きい素数である
又, 条件 r の否定を`r, 条件 s の否定を`s
で表す。
この時
「p 且つ q」 は q である為の [ ケ ]。
`r は`s である為の [ コ ]。
「p 且つ s」 は 「q 且つ s」 である為の [ サ ]。
0 必要十分条件である
1 必要条件であるが, 十分条件でない
2 十分条件であるが, 必要条件でない
3 必要条件でも十分条件でもない
自然数全体の集合を全体集合 U とし, 条件 p を満たす自然数全体の集合を P, 条件 r を満たす自然数全体の集合を R, 条件 s を満たす自然数全体の集合を S とすると, P, R, S の関係を表す図は [ シ ]である。
第二問 (25 点)
a, b を実数とし, x の二つの二次函数
y = 3x2 - 2x - 1 ……… (1)
y = x2 + 2ax + b ……… (2)
のグラフをそれぞれ G1, G2 とする。
以下では, G2 の頂点は G1 上にあるとする。
この時
b = [ ア ]a2 +[ イ ]a - [ ウ ]
であり, G2 の頂点の座標を a を用いて表すと
(-a, [ エ ]a2 + 2a - [ オ ])
となる。
(1) G2 の頂点の y 座標は, α = [ カキ ]/[ ク ] の時, 最小値 [ ケコ ]/[ サ ] を採る。
α = [ カキ ]/[ ク ] の時, G2 の軸は直線 x = [ シ ]/[ ス ] であり, G2 と x 軸との交点の x 座標は
([ セ ] ± [ ソ ]√[ タ ])/[ チ ]
である。
(2) G2 が点 (0, 5) を通る時,
a = [ ツ ], [ テト ]/[ ナ ] である。
a = [ ツ ] の時, G2 を x 軸方向に [ ニ ],
y 軸方向にも同じく [ ニ ] だけ平行移動しても頂点は G1 上にある。
但し [ ニ ] は 0 でない数とする。
第三問 (30 点)
△ABC を AB = 3, BC = 4, CA = 5 である直角三角形とする。
(1) △ABC の内接円の中心を O とし, 円 O が三辺 BC, CA, AB と接する点をそれぞれ P, Q, R とする。
この時, OP = OR = [ ア ] である。 又,
QR = ([ イ ]√[ ウ ])/[ エ ] であり,
sin∠QPR =([ オ ]√[ カ ])/[ キ ] である。
である。
(2) 円 O と線分 AP との交点の内 P と異なる方を S とする。 この時, AP = √[ クケ ] であり, SP = ([ コ ]√[ サシ ])/[ ス ] である。 又, 点 S から辺 BC へ垂線を下ろし, 垂線と BC との交点を H とする。 この時
HP = [ セ ]/[ ソ ], SH = [ タ ]/[ チ ]
である。 従って, tan∠BCS = [ ツ ]/[ テ ] である。
(3) 円 O 上に点 T を線分 RT が円 O の直径となるようにとる。 この時,
tan∠BCT = [ ト ]/[ ナ ] である。 よって, ∠RSC = [ ニヌ ]°であり,
∠PSC = [ ネノ ]°である。
第四問 (25 点)
袋の中に赤玉 5 個, 白玉 5 個, 黒玉 1 個の合計 11 個の玉が入っている。 赤玉と白玉にはそれぞれ 1 から 5 までの数字が一つずつ書かれており, 黒玉には何も書かれていない。 尚, 同じ色の玉には同じ数字は書かれていない。 個の袋から同時に 5 個の玉を取り出す。
5 個の玉の取り出し方は [ アイウ ] 通りある。
取り出した 5 個の中に同じ数字の赤玉と白玉の組が 2 組あれば得点は 2 点, 1 個だけあれば得点は 1 点, 1 組もなければ得点は 0 点とする。
(1) 得点が 5 点となる取り出し方の内, 黒玉が含まれているのは [ エオ ] 通りであり, 黒玉が含まれていないのは [ カキ
] 通りである。
得点が 1 点となる取り出し方の内, 黒玉が含まれているのは [ クケコ ] 通りであり, 黒玉が含まれていないのは [ サシス ]
通りである。
(2) 得点が 1 点である確率は [ セソ ]/[ タチ ] であり, 2 点である確率は [ ツ
]/[ テト ] である。
又, 得点の期待値は [ ナニ ]/[ ヌネ ] である。
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