2014 年数学 II ・ B 解答と解説

第一問 (必答 30 点)

[1] (1) y = (-3/4)(x - p) + q. (2 点)

これに y = (4/3)x を代入。
(4/3)x = (-3/4)(x - p) + q (辺々 12 倍)
16x = -9(x - p) + 12q
25x = 9p + 12q = 3(3p + 4q).
故に x = (3/25)(3p + 4q). (2 点)

従って y = (4/3)x = (4/25)(3p + 4q).

r = PQ = √(((3/25)(3p + 4q) - p)² + ((4/25)(3p + 4q) - q)²)
= (1/25)√((9p + 12q - 25p)² + (12p + 16q - 25q)²)
= (1/25)√((-16p + 12q)² + (12p - 9q)²)
= (1/25)√(4²(-4p + 3q)² + 3²(4p - 3q)²)
= (1/25)(√(4² + 3²))|4p - 3q|
= (1/5)|4p - 3q|. (2 点)

(2) r = q (> 0) なので
 (1/5)|4p - 3q| = q.
|4p - 3q| = 5q
4p - 3q = ±5q
4p = (3 ± 5)q.

R(2, 2) を通るので, p > 0, q > 0 だから 4p = -2q は不適。 4p = 8q は適。
故に p = 2q. (3 点)

中心 (2q, q) (q > 0) で半径 q の円は
(x - 2q)² + (y - q)² = q².
これが R(2, 2) を通るので
(2 - 2q)² + (2 - q)² = q².
4q² - 8q + 4 + q² -4q + 4 = q².
4q² - 12q + 8 = 0
q² - 3q + 2 = 0
(q - 1)(q - 2) = 0
故に q = 1, 2.
コ < ス なので q = 1 の時
�A (x - 2)² + (y - 1)² = 1. (2 点)
�B (x - 4)² + (y - 2)² = 4. (2 点)

(3) S(2, 1), T(4, 2) なので (一寸図を描けば分かるが)
O は ST を 1:2 に外分するので セ は 4.  (2 点)

基本的で難しくないと思われる。
�@ の式は直線と一点との距離の公式で出しても良い。

[2] m = 2, n = 1 の時 log₂m³ + log₃n² = log₂2³ + log₃1² = 3 + 0 = 3. (1 点)

m = 4, n = 3 とすると log₂m³ + log₃n² = log₂4³ + log₃3² = log₂2⁶ + log₃3² = 6 + 2 = 8. (1 点)

n は自然数なので, 対数法則から
3log₂m + 2log₃n ≦ 3.
log₂m + (2/3)log₃n ≦ 1. (各 1 点, 計 2 点)

n が自然数即ち n ≧ 1 で 底 3 > 1 であるから log₃n ≧ log₃1 = 0 だから
log₃n の最小値は 0. (1 点)

従って
log₂m ≦ 1 = log₂2.
底 2 > 1 より m ≦ 2. つまり m = 1 又は m = 2. (各 1 点, 計 2 点)

m = 1 の時 (2/3)log₃n ≦ 1.
log₃n ≦ 3/2 (1 点)

2log₃n ≦ 3.
log₃n² ≦ 3 = 3log₃3 = log₃3³ = log₃27.
だから n² ≦ 27 (2 点).
5² = 25, 6² = 36 だから n ≦ 5. (2 点)
よって m = 1 の場合の自然数解は 5 個。

m = 2 の時は
1 + (2/3)log₃n ≦ 1.
(2/3)log₃n ≦ 0.
log₃n ≦ 0 = log₃1.
だから n = 1 よりこの場合は (m, n) = (2, 1) のみの 1 個。 (2 点)

以上から合計で 5 + 1 = 6 個。 (1 点)

教科書 level で簡単な問題。

第二問 (必答 30 点)

(1) f(x) = x³ - px より
f '(x) = 3x² - p. (2 点)

f(x) が x = a で極値を採るならば
3a² - p = 0. (2 点)

これが符号変化する為には p > 0 でなければならない。
即ち エ は 1. (3 点)

(2) f(x) が x = p/3 で極値を採るとすれば
f '(p/3) = p²/3 - p = 0.
p² - 3p = 0. 即ち p = 0, 3.
p > 0 だったから p = 3. (3 点)

つまり x = 3/3 = 1 で極値をとる。
実際この時 f(x) = x³ - 3x, f '(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1).

従って極大値をとるのは x = -1 で, 極小値をとるのは x = 1. (3 点)

f '(b) = 3b² - 3 なので
l: y = (3b² - 3)(x - b) + f(b). (2 点)

これが A(p/3, f(p/3)) = (1, -2) を通るので
-2 = (3b² - 3)(1 - b) + b³ - 3b.
(3b² - 3)(b - 1) - 2 = b³ - 3b
3b³ - 3b² - 3b + 3 - 2 = b³ - 3b
2b³ - 3b² + 1 = 0. (2 点)

(左辺に b = 1 を代入すると 0 だから)
(b - 1)(2b² - b - 1) = 0
(b - 1)²(2b + 1) =  0 より b = 1, -1/2. (3 点)

ところが f '(b) ≠ 0 なので, b = -1/2.
即ち
l: y = 3(1/4 - 1)(x + 1/2) - 1/8 + 3/2
= 3(-3/4)(x + 1/2) + 11/8
= (-9/4)(x + 1/2) + 11/8
= (-9/4)x - 9/8 + 11/8
= (-9/4)x + 2/8
= (-9/4)x + 1/4. (3 点)

y = a(x - 1)² - 2 が (0, 0) を通るとすると
0 = a - 2 より a = 2. つまり
y = 2(x - 1)² - 2
= 2(x² - 2x + 1) - 2
= 2x² - 4x + 2 - 2
= 2x² - 4x. (3 点)

2x² - 4x = (-9/4)x + 1/4 と置くと
8x² - 16x = -9x + 1
8x² - 7x - 1 = 0
(8x + 1)(x - 1) = 0.
x = -1/8, 1.
x ≧ 0 より x = 1.

放物線は下に凸なので, 求める面積は
∫₀¹ ((-9/4)x + 1/4 - (2x² - 4x)) dx
= ∫₀¹ ((-9/4)x + 1/4 - 2x² + 4x) dx
= (1/4)∫₀¹ (-8x² + 7x + 1) dx
= 1/4[-8x³/3 + 7x²/2 + x]₀¹
=(1/4)(-8/3 + 7/2 + 1) = (-16 + 21 + 6)/24 = 11/24. (4 点)

l の式でその直前が改頁なので, p = 3 として良いのかどうか一寸だけ迷った。
それ以外は簡単。

第三問 (選択 20 点)

(1) Δ_n = a_n+1 - a_n とすると Δ₁ = 9, Δ₂ = 9 + 4 = 13 なので
a₂ = a₁ + Δ₁ = 6 + 9 = 15. (1 点)
a₃ = a₂ + Δ₂ = 15+ 13 = 28. (2 点)

Δ_n = 9 + 4(n - 1) = 4n + 5. (2 点)

従って n ≧ 2 では
a_n = a₁ + Σ_{k = 1}^{n - 1} Δ_n
= 6 + Σ_{k = 1}^{n - 1} (4k + 5)
= 6 + 4・(1/2)n(n - 1) + 5(n - 1)
= 6 + 2n(n - 1) + 5n - 5
= 2n² - 2n + 5n + 6 - 5
= 2n² + 3n + 1. (2 点)

(2) b₂ = (a₁/(a₂ - 1))b₁ = (6/14)・(2/5) = 6/35. (1 点)

b_{n + 1} = (a_n/(a_{n + 1} - 1))b_n = ((2n² + 3n + 1)/(2(n + 1)² + 3(n + 1) + 1 - 1))b_n
= ((2n + 1)(n + 1)/((n + 1)(2(n + 1) + 3))b_n
= ((2n + 1)/(2n + 5))b_n. (2 点)

ここで c_n = (2n + 1)b_n とすると c_{n + 1} = (2n + 3)b_{n + 1}  なので
c_{n + 1}/(2n + 3) = c_n/(2n + 5).
つまり (2n + 5)c_{n + 1} = (2n + 3)c_n. (2 点)

従って d_n = (2n + 3)c_n とすると全ての n について d_n = d_{n - 1} = d_{n - 2} = … = d₁
で, しかも
d₁ = 5c_{n + 1} = 5・3b₁ = 15・2/5 = 6. (2 点)

従って (2n + 3)c_n = 6.
(2n + 1)(2n + 3)b_n = 6.
故に b_n = 6/((2n + 1)(2n + 3)) = 3/(2n + 1) - 3/(2n + 3). (2 点) (因みにこの 3 は 6/(3 - 1) で出す)

従って
S_n = (b₁ + b₂ + b₃ + b₄ + … + b_n
= (3/3 - 3/5) + (3/5 - 3/7) + (3/7 - 3/9) + … + (3/(2n + 1) - 3/(2n + 3))
= 1 - 3/(2n + 3) = 2n/(2n + 3). (2 点)

殆ど誘導の通りにやっていけばいいので難しくないと思う。

第四問 (選択 20 点)

本問では vectors はすべて太字斜体を用いる。

(1) LK = OK - OL = (0, 0, 2) - (1, 0, 0) = (-1, 0, 2) (2 点)

□ KLMN より LK = MN  つまり オ は 3. (1 点)

M(3, 3, s), N(t, 3, 3) とすると
MN = ON - OM = (t, 3, 3) - (3, 3, s) = (t - 3, 0, 3 - s) = (-1, 0, 2) なので
t - 3 = -1
3 - s = 2
つまり s = 1, t = 2. (2 点)

これから N は FG を 1 : 2 に内分することが分かる。 (2 点)

LK・LM = (-1, 0, 2)・(OM - OL) = (-1, 0, 2)・((3, 3, 1) - (1, 0, 0))
= (-1, 0, 2)・(2, 3, 1) = -2 + 2 = 0. (1 点)

|LK | = |(-1, 0, 2)| = √(1 + 4) = √5. (1 点)
|LM | = |(2, 3, 1)| = √(4 + 9 + 1) = √14. (1 点)

LK⊥LM より, □ KLMN の面積は (√5)・(√14) = √70. (2 点)

(2) OP⊥LM & OP⊥LM ⇔ OP・LM = OP・LM  = 0. (1 点)

故に (p, q, r)・(-1, 0, 2) = -p + 2r = 0. だから p = 2r.
(p, q, r)・(2, 3, 1) = 2p + 3q + r = 0 で p = 2r を代入して
4r + 3q + r = 0 から 3q = -5r. 即ち q = (-5/3)r. (二つ出来て 2 点)

PL = OL - OP = (1, 0, 0) - (p, q, r) = (1 - p, -q, -r).
OP・PL = p(1 - p) - q² - r² = 2r(1 - 2r) - (-5r/3)² - r² = 2r - 4r² - 25r²/9 - r² = 0
18r - 36r² - 25r² - 9r² = 0
r ≠ 0 より 18 - 36r - 25r - 9r = 0.
18 = 70r. 故に r = 18/70 = 9/35. (2 点)

従って p = 2r = 18/35, q = -5r/3 = (-5/3)・(9/35) = -3/7.

よって OP = (18/35, -3/7, 9/35) = (3/35)(6, -5, 3).
故に |OP| = (3/35)√(6² + 5² + 3²) = (3/35)√(36 + 25 + 9) = (3/35)√70
= (3√70)/35. (2 点)

□ KLMN は長方形だから, 求める体積は
(1/3)・((1/2)√70)(3√70)/35 = (1/2)・(70/35) = 2/2 = 1. (1 点)

予想通り今年は立体の vector だった。
多分来年は又平面 vector だろう。 でも教育課程が異なるので, 変わるかも知れぬ。
問題は素直で教科書 level.
L の位置を間違えないようにしないといけない。

第五問 (選択 20 点)

(1) (9 + 20 + 18・4 + A + 14 + 15)/9 = 16
A + 18・4 + 9 + 49 = 16・9
A + 49 = 16・9 - 9・8 - 9 = 9・(16 - 8 - 1) = 9・7
A = 9・7 - 7・7 = 2・7 = 14. (1 点)

B = (7² + 4² + 2²・4 + 2²・2 + 1²)/9 = (49 + 16 + 16 + 8 + 1)/9 = (50 + 40)/9 = 90/9 = 10.00 (2 点)

数学の平均から
(15 + 20 + 14 + 17 + 8 + C + D + 14 + 15)/9 = 15
C + D = 29.・2 + 20 + 17 + 8 = 15・9
C + D = 135 - 58 - 20 - 17 - 8 = 135 - 25 - 78 = 110 - 78 = 32. (1 点)

相関係数から

(-7)・0 + 4・5 + 2・(-1) + 2・2 + (-2)・(-7) + 2(C - 15) + (-2)(D - 15) + (-1)・(-1) + 2・0 = 0.5・(√10)・(√10)・9
20 - 2 + 4 + 14 + 2(C - D) - 30 + 30 + 1 = 45
2(C - D) = 45 - 37 = 8
故に C - D = 4. (2 点)

従って
C = (32 + 4)/2 = 36/2 = 18. (1 点)
D = (32 - 4)/2 = 28/2 = 14. (1 点)

(2) 今求めた C, D がちゃんと載っている散布図は 0. (2 点)

(3) E = (16.0・9 + 6)/10 = (144 + 6)/10 = 150/10 = 15.0. (2 点)

(15.0・9 + F)/10 = 14.0
135 + F = 140.
F = 5 (2 点)

(4) 平均点が変化しないということは, 平均点と同じ得点であったということだから, それは生徒 8 である。 (2 点)

v ' = 10v/9.  v '/v = 10/9 即ち ト は 4. (2 点)

r ' = r 即ち r '/r = 1 即ち ナ は 1. (2 点)

相関係数の定義を忘れて大変だった。

第六問 (選択 20 点)

(1) 6! = 2・3・4・5・6 = 2⁴・3²・5. (1 点)

(2) 意味を考えれば明らかであると思われるが
ウ 2. エ 3. (各 2 点, 計 4 点)

[ ] を所謂ガウス記号とすると
1 回目 [101/2] = 50.
2 回目 50/2 = 25.
3 回目 [25/2] = 12.
4 回目 12/2 = 6.
5 回目 6/2 = 2.
6 回目 [3/2] = 1 (< 2)
ここで外に出るから J = 6. (2 点)

今やったことから, 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97. (2 点)

(3) 素因数 2 を 5 に変更するのだから クケコ は 110 で サ は 4. (2 点)

2 の時と同様に実行すると
1 回目 [2014/5] = 402
2 回目 [402/5] = 80
3 回目 80/5 = 16
4 回目 [16/5] = 3 (< 5).
以上より 402 + 80 + 16 + 3 = 501 [個] (2 点)

(4) 素数でなかったら loop を出るのだから ツ が 2. テ が 8. (2 点)

26 迄の素数は 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 の九個なので 190 行は 9 回実行される。 (2 点)

2・13, 2・8, 4・6, 5・5, 6・4, 7・3, 11・2, 13・2, 17・1, 19・1, 23・1 より ナ は 2. (2 点)

扱っているのは数学の問題だが, また元に戻った感じ。
最初に program の説明が書いてあるので, その通りに coding すれば良い。
computer の気持ちになって実行することが大事。

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