Sunday, 19th January, 2014.
13:00 -- 14:00 (1hr)
平均 62.08
第一問 (20 点)
[1] (1) a = (1 + √3)/(1 + √2), b =
(1 - √3)/(1 - √2) と置く。
この時
ab = [ ア ]
a + b =
[ イ ]([ ウエ ]) + √[ オ ])
a2 + b2 = [ カ ]([ キ ]
- √[ ク ])
である。
(2) ab = [ ア ] と a2 + b2 + 4(a + b) = [ ケコ ] から, a は
a4 + [ サ ]a3 - [ シス ]a2 + [ セ ]a + [ ソ ] = 0
を満たすことが分かる。
[2] 集合 U を U = {n | n は 5 < √n < 6 を満たす自然数} で定め, 又, U の部分集合 P, Q, R, S を次のように定める。。
P = {n | n ∈ U 且つ n は 4 の倍数}
Q = {n | n ∈ U 且つ n は 5 の倍数}
R = {n | n ∈ U 且つ n は 6 の倍数}
S = {n | n ∈ U
且つ n は 7 の倍数}
全体集合を U とする。 集合 P の補集合を`P で表し, 同様に Q, R, S の補集合をそれぞれ`Q,`R,`S で表す。
(1) U の要素の個数は [ タチ ] 個である。
(2) 次の 0 から 4 で与えられた集合の内, 空集合であるものは [ ツ ], [ テ ]
である。
[ ツ ], [ テ ] に当てはまるものを, 次の 0 から 4 の内から一つずつ選べ。 但し, [ ツ ], [ テ ]
の解答の順序は問わない。
0 P∩R
1 P∩S
2 Q∩R
3 P∩`Q
4 R∩`Q
(3) 集合 X が集合 Y の部分集合であるとき, X Y と表す。 この時, 次の 0 から 4 のうち,
部分集合の関係について成り立つものは [ ト ], [ ナ ] である。
[ ト ], [ ナ ] に当てはまるものを,
0 から 4 の内から一つずつ選べ。
但し, [ ト ], [ ナ ] の解答の順序は問わない。
0 P∪R ⊂`Q
1 S∩`Q
⊂ P
2 `Q∩`S ⊂`P
3 `P∩`Q⊂`S
4 `R∩`S ⊂`Q
第二問 (25 点)
a を定数とし, x の二次函数
y = x2 + 2ax + 3a2 - 6a - 36 ………………………… ①
のグラフを G とする。 G の頂点の座標は
([ ア ]a, [ イ ]a2 - [ ウ ]a - [ エオ ])
である。 G と y 軸との交点の y 座標を p とする。。
(1) p = -27 の時, a の値は [ カ ], [ キク ] である。 a = [ カ ] の時の ① のグラフを x 軸方向に [ ケ ], y 軸方向に [ コ ] だけ平行移動すると, a = [ キク ] の時の ① のグラフに一致する。
(2) 下の [ ス ], [ セ ], [ ノ ], [ ハ] には, 次の 0 から 4 の内から当てはまるものを一つずつ選べ。 但し, 同じものを繰り返し選んでも良い。
0 > 1 < 2 ≧ 3 ≦
G が x 軸と共有点を持つような a の値の範囲を表す不等式は
[ サシ ] [ ス ] a [ セ ] [ ソ ] ………………………… ②
である。 a が ② の範囲にある時, p は a = [ タ ] で最小値 [ チツテ ] をとり, a = [ ト ] で最大値 [ ナニ ] をとる。
G が x 軸と共有点を持ち, 更にその全ての共有点の x 座標が -1 より大きくなるような a の値の範囲を表す不等式は
[ ヌネ ] [ ノ ] a [ ハ ] [ ヒフ ]/[ ヘ ]
である。
第三問 (30 点)
△ABC は AB = 4, BC = 2, cos∠ABC = 1/4 を満たすとする。 この時
CA = [ ア ], cos∠BAC = [ イ ]/[ ウ ], sin∠BAC = (√[ エオ ])/[ カ ]
であり, △ABc の外接円 O の半径は [ キ ](√[ クケ ])/[ コサ ] である。 ∠ABC の二等分線と ∠BAC の二等分線の交点を D, 直線 BD と辺 AC の交点を E, 直線 BD と円 O との交点で B と異なる交点を F とする。
(1) この時 AE = [ シ ]/[ ス ], BE = [ セ ](√[ ソタ ])/[ チ ], BD = [ ツ ](√[ テト ])/[ ナ ] となる。
(2) △EBC の面積は △EAF の面積の [ ニ ]/[ ヌ ] 倍である。 従って内接円 R は 。 [ ニ ] に当てはまるものを, 次の 0 から 3 の内から一つ選べ。
0 内接する
1 異なる二点で交わる
2 外接する
3 共有点を持たない
AQ = (√[ ネノ ])/[ ハ ]
であるから, PQ = (√[ ヒフ ])/[ ヘ ] となる。 従って [
ホ ]。
[ ホ ] に当てはまるものを, 次の0 から 5 の内から一つ選べ。
0 FA < FC = FD
1 FA = FC < FD
2 FC > FA = FD
3 FD < FC < FA
4 FA = FC = FD
5
FD < FC = FA
第四問 (25 点)
下の図は, ある町の街路図の一部である。
ある人が, 交差点 A から出発し, 次の規則に従って, 交差点から隣の交差点への移動を繰り返す。
① 街路上のみを移動する。
② 出発前にサイコロを投げ, 出た目に応じて上図の 1 から 6 の矢印の方向の隣の交差点に移動する。
③
交差点に達したら, 再びサイコロを投げ, 出た目に応じて図の 1 から 6 の矢印の方向の隣の交差点に移動する。 (一度通った道を引き返すことも出来る。)
④ 交差点に達する度に, ③ と同じことを繰り返す。
(1) 交差点 A を出発し, 四回移動して交差点 B にいる移動の仕方について考える。 この場合, 3 の矢印の方向の移動と 4 の矢印の方向の移動をそれぞれ二回ずつ行うので, このような移動の仕方は [ ア ] 通りある。
(2) 交差点 A を出発し, 三回移動して交差点 C にいる移動の仕方は [ イ ] 通りある。
(3) 交差点 A を出発し, 六回移動することを考える。 この時, 交差点 A を出発し, 三回の移動が終わった時点で交差点 C にいて, 次に三回移動して交差点 D にいる移動の仕方は [ ウエ ] 通りあり, その確率はものは [ オ ]/[ カキクケ ] である。
(4) 交差点 A を出発し, 六回移動して交差点 D にいる移動の仕方について考える。
よって, 交差点 A を出発し, 六回移動して交差点 D にいる移動の仕方は [ タチツ ], 通りある。
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