2015 年数学 II ・ B 解答と解説

第一問 (必答 30 点)

[1] (1) OP² = 4cos²θ + 4sin²θ = 4 より OP = 2. (1 点)

PQ² = cos²7θ + sin²7θ = 1. (1 点)

OQ² = 4cos²θ + cos²7θ + 4cosθcos7θ
　　　+ 4sin²θ  + sin²7θ + 4sinθsin7θ
= 4 + 1 + 4(cosθcos7θ + sinθsin7θ)
= 5 + 4(cosθcos7θ + sinθsin7θ) (各 1 点, 計 2 点)
= 5 + 4cos(7θ - θ)
= 5 + 4cos6θ. (2 点).

π/8 ≦ θ ≦ π/4 なので
6π/8 ≦ 6θ ≦ 6π/4.
(3/4)π ≦ 6θ ≦ (3/2)π. (これは後でも使う)

従って,
1/√2 ≦ cos6θ ≦ 0.
2√2 ≦ 4cos6θ ≦ 0.
5 + 2√2 ≦ 5 + 4cos6θ ≦ 5.
5 + 2√2 ≦ OQ² ≦ 5.
√(5 + 2√2) ≦ OQ ≦ √5.
従って θ = π/4 の時, 最大値 √5. (両方出来て 2 点)

(2) P(2cosθ, 2sinθ) と原点 O(0, 0) を通る直線は y = (sinθ/cosθ)x なので
(sinθ)x - (cosθ)y = 0. つまり ク は 3. (1 点)

この直線上に Q があるとすれば,
sinθ(2cosθ + cos7θ) - cosθ(2sinθ + sin7θ)
= 2sinθcosθ + sinθcos7θ - 2cosθsinθ - cosθsin7θ
=sin(θ - 7θ) = sin(-6θ) = -sin6θ = 0.

先ほど調べたように (3/4)π ≦ 6θ ≦ (3/2)π だったから 6θ = π. つまり θ = π/6. (2 点)

(3) 三平方の定理より
∠OQP = ∠R ⇔ OP² = OQ² + QP².
つまり 4 = 5 + 4cos6θ + 1.
4cos6θ = -2.
ここで (3/4)π ≦ 6θ ≦ (3/2)π だったから
6θ = (4/3)π.
θ = (4/(3・6))π = (2/9)π. (3 点)

7θ が出てきて皆ビビったらしいが, 焦らなければ難しくない。
角度の範囲に十分注意しないとミスするので気をつけよう。

[2] (1) (*) の上の式を自乗, 下の式を三乗すると
x²y³ = a²
xy³ = b³.

(上の式)/(下の式) : x =  a²/b³ = a²b^-3. (3 点)

従って y = bx^-1/3 =b・a^-2/3b = a^-2/3b². (3 点)

(2) b = 2・³√a⁴ を代入して
x = a²・2^-3a^-4
　= 2^-3a^-2 (2 点)
y = a^-2/3・4a^8/3
　= 2²・a^6/3 = 2²a². (2 点)

x + y = 2^-3a^-2 + 2²a² ≧ 2√(2^-3a^-2・2²a²) = 2√2^-1 = √2. (2 点)

等号成立は
2^-3a^-2 = 2²a². つまり a⁴ = 2^-5.
つまり a = 2^-5/4. (3 点)

(1) は対数をとってもいいが, そこまでしなくても出来る。
(2) は指数計算と相加平均と相乗平均の関係なので, 慣れていれば直ぐに出来る。
教科書 level で簡単な問題。

第二問 (必答 30 点)

(1) (f(a + h) - f(a))/h = ((1/2)(a + h)² - (1/2)a²)/h
= (a² + 2ah + h² - a²)/(2h) = (2a + h)/(2h) = (2a + h)/2
= (a + h/2). (2 点)
よって f '(a) = lim_h→0(a + h/2) = a. (h→ の方が 2 点, 右辺が 1 点)

(2) l: y - (1/2)a² = a(x - a)
y - (1/2)a² = ax - a².
y = ax - (1/2)a². (3 点)

y = 0 と置くと, ax = (1/2)a². 故に x = a/2. (1 点).

m: y - 0 = (-1/a)(x - a/2)
y = (-1/a)x + 1/2. (3 点)

m で x = 0 とすると y = 1/2. 従って A(0, 1/2).

PQ² = (a/2)² + (a/2)²
= a²/4 + (a²)²/4 = a²/4 + a⁴/4
= a²(1 + a²)/4.
故に PQ = (a/2)√(1 + a²).

AQ² = (1/2)² + (a/2)²
= (a² + 1)/4.
故に AQ = (1/2)√(1 + a²).

従って
S = (1/2)AQ・QP
= (1/2)(1/2)(√(1 + a²))・(a/2)√(1 + a²)
= a(a² + 1)/8. (4 点)

T を求めるには図の台形 OAPH から 放物線の下の部分の面積を引いた方が楽なのでそうすると
T = (1/2)(1/2 + a²/2)a - ∫₀^a (1/2)x2 dx
= a(a² + 1)/4 - [x³/6]₀^a
= a(a² + 1)/4 -  a³/6
= a(a² + 1)/4 - a²/6)
= a(3(a² + 1) - 2a²)12
= a(a² + 3)/12. (5 点)

S - T = a(a² + 1)/8 - a(a² + 3)/12
= a(3(a² + 1) - 2(a² + 3))/24
= a(.3a² + 3 - 2a² - 6)/24
= a(a² - 3)/24. (2 点)

S - T > 0 とすると a(a² - 3) > 0, で a > 0 より a > √3. (2 点)

y = x(x² - 3) = x³ - 3x を考える。
y ' = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1).
なので増減表は

x = 1 ⇒ y = 1 - 3 = -2 なので
S - T は a = 1 (2 点) で最小値 -2/24 = -1/12 (3 点) をとる。

平均変化率や定義通り微分係数を求めるのが新機軸。

第三問 (選択 20 点)

(1) 2¹ = 2 より a₁ = 2.
2² = 4 より a₂ = 4.
2³ = 8 より a₃ = 8.
2⁴ = 16 より a₄ = 6.
2⁵ = 32 より a₅ = 2. (ここまで全部出来て 2 点)

従って a_{n + 4} = a_n なので オ は 3. (1 点)

(2) b_{n + 4} = (a_{n + 3}/4)b_{n + 3}
= (a_{n + 3}/4)(a_{n + 2}/4)b_{n + 2}
= (a_{n + 3}/4)(a_{n + 2}/4)(a_{n + 1}/4)b_{n + 1}
= (a_{n + 3}/4)(a_{n + 2}/4)(a_{n + 1}/4)(a_n/4)b_n
= ((a_{n + 3}・a_{n + 2}・a_{n + 1}・a_n)/2⁸)b_n. (2 点)

ここで a_{n + 3}・a_{n + 2}・a_{n + 1}・a_n = a₄・a₃・a₂・a₁ = 6・8・4・2 = 3・2⁷. (2 点)

従って, b_{n + 4} = (3/2)b_n. (1 点)

(2) 先ず b₁ = 1 で
b₂ = a₁・b₁/4 = 2/4 = 1/2.
b₃ = a₂・b₂/4 = (4・1/2)/4 = 1/2.
b₄ = a₃・b₃/4 = (8・1/2)/4 = 1 である。

そして
b_{4k - 3} = b_{4(k - 1) + 1} = (3/2)^{k - 1}b₁ = (3/2)^{k - 1}. (1 点)

同様に
b_{4k - 2} = b_{4(k - 1) + 2} = (3/2)^{k - 1}b₂ = (1/2)・(3/2)^{k - 1}. (1 点)
b_{4k - 1} = b_{4(k - 1) + 3} = (3/2)^{k - 1}b₃ = (1/2)・(3/2)^{k - 1}. (1 点)
b_4k = b_{4(k - 1) + 4} = (3/2)^{k - 1}b₄ = (3/2)^{k - 1}.

(3) S_4m = Σ_k=1^m b_4k-1 + Σ_k=1^m b_4k-2 + Σ_k=1^m b_4k-3 + Σ_k=1^m b_4k
= Σ_k=1^m (1 + 1/2 + 1/2 + 1)(3/2)^{k - 1}
= 3Σ_k=1^m (3/2)^{k - 1}
= 3((3/2)^m - 1)/(3/2 - 1) = 6((3/2)^m - 1)
= 6(3/2)^m - 6. (3 点).

(4) b_{4k - 3}・ b_{4k - 2}・ b_{4k - 1}・ b_4k = (3/2)^{4(k - 1)}・(1/2)²
= (1/4)(3/2)^{4(k - 1)}. (2 点)

従って
T_4m = (1/4)^m(3/2)^{4Σ_k=1m (k - 1)}
= (1/4^m)(3/2)^4・m(m-1)/2 = (1/4^m)(3/2)^{2m(m - 1)} = (1/4^m)(3/2)^{2m2 - 2m}. (3 点)

そして
T₁₀ = T₈b₉b₁₀
= T_4・2b_4・3-3b_4・3-2
= (1/4²)(3/2)⁴・(3/2)^3-1・(1/2)(3/2)^3-1
= 3⁴・3²・3²/(2⁴・2⁴・2²・2・2²)
= 3⁸/2¹³. (1 点)

a_n が循環したり, 掛け算を考えたりするのが一寸新機軸だったが, 殆ど誘導の通りにやっていけばいいので難しくないと思う。

オ について後で, 0 即ち 5n も正解とすると出ていた。 これはどういうことかというと, 以下の問題を解いていく為には n + 4 でないと困るが, 実は
a_n = a_{n + 4} = a_{n + 2・4} = a_{n + 3・4} = … = a_{n + n・4} = a_5n
となってしまうからである。 つまり実は 0 は本質的に正解である 3 に含まれていたわけである。 しかし逆は言えない (つまり a_n+4 = a_n ⇒ a_5n = a_n だがその逆は成り立たない) ので, (確かにこの問題だけを見ると正しいが) そういう答えを書く人は数学的なセンスに欠ける。

第四問 (選択 20 点)

本問では vectors はすべて太字斜体を用いる。

(1) 公式から
OP = (a + 2b)/(2 + 1) = (1/3)a + (2/3)b (2 点)

OQ = (1 - t)OB + tOC
= (1 - t)b + tOC
= (1 - t)b + t(b - a)
= -ta + b. (1 点)

a・b = 1・1・cos60°= 1/2. (1 点)

OP ⊥ OQ ⇔ OP・OQ = 0 (1 点)
なので
0 = (-ta + b.)・((1/3)a + (2/3)b)
= -t((1/3)|a|² + (2/3)a・b) + (1/3)a・b + (2/3)|b|²
= -t・(1/3 + (2/3)・(1/2)) + 1/3・(1/2) + 2/3
= -(2/3)t + 5/6.
従って 0 = -4t + 5.
故に t = 5/4. (2 点)

|OP|² = |(1/3)a + (2/3)b|²
= (1/9)|a + 2b|²
= (1/9)(|a|² + 4a・b + 4|b|²)
= (1/9)(1 + 4・1/2 + 4) = (1 + 2 + 4)/9 = 7/9.
従って |OP| = (√7)/3. (1 点)

|OQ|² = |(-5/4)a + b|²
= (1/16)|-5a + 4b|²
= (1/16)(25|a|² - 40a・b + 16|b|²)
= (1/16)(25 - 40・1/2 + 16) = (25 - 20 + 16)/16 = 21/16.
従って |OQ| = (√21)/4. (1 点)

OP ⊥ OQ より
S₁ = (1/2)|OP||OQ| = (1/2)・((√7)/3)((√21)/4) = (7√3)/24. (2 点)

(2) OT = rOP + sOQ.
r((3OB + OC)/4) = (1 - s)((1/3)a + (2/3)b) + s((-5/4)a + b)
r((3b + (b - a))/4) = ((1 - s)/3)a + (2(1 - s)/3)b) - (5s/4)a + sb
(-r/4)a + rb = ((4 - 4s - 15s)/12)a + ((2 - 2s + 3s)/3)b
(-r/4)a + rb = ((4 - 19s)/12)a + ((2 + s)/3)b

故に
r/4 = (19s - 4)/12
r = (2 + s)/3

即ち
3r = 19s - 4
3r = 2 + s.

従って 19s - 4 = 2 + s
即ち 18s = 6.
つまり s = 1/3. (2 点)

よって r = (1/3)(2 + 1/3) = (6 + 1)/9 = 7/9. (2 点)

従って OT = rOR - OP
= (7/9)((-1/4)a + b)
= (-7/36)a + (7/9)b. (2 点)

PT : TQ = 1 : 2.
OT : TR = 7 : 2

なので
S₂ = (2/7)△OPT
= (2/7)(1/3)S₁
= (2/21)S₁

故に S₁ : S₂ = S₁ : (2/21)S₁ = 21 : 2. (3 点)

予想通り今年は平面の vector だった。
多分来年は又立体の vector だろう。
問題は素直で教科書 level.
図がある程度正確に描ければ十分。

第五問 (選択 20 点)

(1) P(W = 0) = ₃C₃/₇C₃ = (3・2・1)/(7・6・5) = 1/35. (2 点)
P(W = 1) = 4・₃C₂/₇C₃ = (4・3)/(7・5) = 12/35. (2 点)
P(W = 2) = (₄C₂・₃C₁)/₇C₃ = (4・3/(2・1))・3/(7・5) = 18/35. (2 点)
P(W = 3) = ₄C₃/₇C₃ = 4/35. (2 点)

E(W) = 12/35 + 2・18/35 + 3・4/35 = (12 + 36 + 12)/35 = 60/35 = 12/7. (3 点)

V(W) = E(W²) - E(W)²
= (12 + 18・2² + 4・3²)/35 - (12/7)²
= (12 + 18・4 + 4・9)/35 - 144/49
= (12 + 72 +36)/35 - 144/49
= 120/35 - 144/49 = 24/7 - 144/49
= (24・7 - 144)/49 = 24/49. (3 点)

(2) 0.99/2 = 0.495 を数表から探す。 2.57 か 2.58 なので タ は 3. (2 点)

(3) P(|X - m| ≦ 2.58・σ/√n) = 0.99
であるので
E(X) - 2.58σ/√n ≦ m ≦ E(X) + 2.58σ/√n
つまり L₂ = 2.58・2σ/√n.
同様にして L₁ = 1.96・2σ/√n
従って L₂/L₁ = 2.58/1.96 ≒ 1.316 ≒ 1.3. (2 点)

同様にして L₃ = 1.96・2σ/√(4n) = 1.96・2σ/(2√n)
なので
L₂/L₁ = 1/2 = 0.5 (2 点)

もう三十年以上推計学をやっていなかったので, 忘れて大変だった。
しかしちゃんと勉強して覚えていた人にとっては難しくなかったはず。

新課程になって computer がなくなったので, 選択肢が減った感じ。

全体を通じて短時間にやらなければならないので, 大変なことは大変だが, 巷の評判ほど難しくはなかったと思うがどうなのか。

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