(1) $s_1 = 1$, $s_2 = 2$, $s_3 = 4$ なので,
$s_1s_2s_3 = 8$, $s_1+s_2+s_3 = 7$.
(2) $s_1 = x$, $s_2 = xr$, $s_3 = xr^2$ なので,
$s_1s_2s_3 = x^3r^3 = a^3$,
$s_1+s_2+s_3 = x+ xr + xr^2 = b$.
つまり $xr = a$ で $x + a + ar = b$.
後ろの式の両辺に r を掛けて $rx + ar + ar^2 = br$
$a + ar + ar^2 = br$
即ち $ar^2 + (a - b)r + a = 0$.
この式の $r$ に関する判別式を $D$ とすると
\begin{align} D &= (a-b)^2 + 4a^2 \\ &= a^2 - 2ab + b^2 - 4a \\ &= -3a^2 -2ab + b^2 \geqq 0. \end{align}即ち $3a^2 + 2ab - b^2 \leqq 0$.
(3) $xr = 64$ 且つ $64r^2 - 272r + 64 = 0$.
後ろの方は
$4r^2 - 17r + 4 = 0$
$(4r - 1)(r - 4) = 0$.
$r > 1$ なので $r = 4$, $x = 16$.
$t_n = s_n\log_4 s_n$
$= 16\cdot4^{n-1}\log_4 \left(15\cdot4^{n-1}\right)$
$= 4^{n+1}\log_4 4^{n+1}$
$= (n + 1)4^{n+1}$.
$U_n = 2\cdot4^2 + 3\cdot4^3 + 4\cdot4^4 + \cdots + (n + 1)4^{n+1}$
$-)\ 4U_n =$ $2\cdot4^3 + 3\cdot4^4 + \cdots + n4^{n + 1} + (n + 1)4^{n+2}$
$-3U_n = 2\cdot4^2 + (4^3 + 4^4 + \cdots + 4^{n+1}) - (n + 1)4^{n+2}$
$= 32 + \ds{4^3\left(4^{n-1}-1\right)\over4-1} - (n + 1)4^{n+2}$
$= 32 + \ds{1\over3}\cdot4^{n+2} - \ds{4^3\over3} - (n + 1)4^{n+2}$
$= 32 - \ds{64\over3} - \left(n + 1 -\ds{1\over3}\right)4^{n+2}$
$= 32\left(1-\ds{2\over3}\right) - \ds{(3n + 2)\over3}\cdot4^{n+2}$
故に $U_n = -\ds{32\over9} + \ds{3n+2\over9}\cdot4^{n+2}$.
難しくはないと思うのだが, $U_n$ の計算は一寸面倒。