(1) 二項分布なので
$m = np = \ds{1216\over27}$,
$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \ds{152\over27}$.
なので, 下の方の式から
$np(1-p) = \ds{152^2\over27^2}$
これに上の式を代入して
$\ds{1216\over27} (1-p)=
\ds{152^2\over27^2}$
$1-p = \ds{152\times152\over27\times1216} = \ds{19\over27}$.
$\therefore p = \ds{8\over27}$.
従って
$\ds{8\over27}n = \ds{1216\over27}$
$n = \ds{1216\over8} = 152$.
(2) $\ds{W-m\over\sigma} = \ds{38-\ds{1216\over27}\over\ds{152\over27}}$
$= \ds{28\times27-1216\over152} = \ds{1026-1216\over152}$
$= -\ds{190\over152} = -1.52$.
正規分布表から
$P(Z \geqq -1.25) = 0.5 + P(0 \leqq Z \leqq 1.25)
\fallingdotseq 0.5 + 0.3944 = 0.8944 \fallingdotseq 0.89$.
(3) $f(x)$ の定義により
\begin{align} P\left(a \leqq X \leqq\ds{3\over2}a\right) &= \int_a^{{3\over2}a} {1\over3a^2}(2a - x)\,dx \\ &= {1\over3a^2}\left[-{1\over2}(2a-x)^2\right]_a^{{3\over2}a} \\ &= {1\over3a^2}\left(-{1\over2}\left(2a -{3\over2}a\right)^2 + {1\over2}(2a-a)^2\right) \\ &= {1\over3}\left(-{1\over2}\left(2 -{3\over2}\right)^2 + {1\over2}\right) \\ &= {1\over3}\left(-{1\over2}\left({1\over2}\right)^2 + {1\over2}\right) \\ &= {1\over3}\left({1\over2} - {1\over8}\right) = {1\over3}\times{4-1\over8} = {1\over3}\times{3\over8} = {3\over8}. \end{align}又, 平均 (期待値) の定義により
\begin{align} E(X) &= \int_{-a}^{2a} xf(x)\,dx \\ &= \int_0^{2a} x\cdot{1\over3a^2}(2a-x)\,dx + \int_{-a}^0 {2x\over3a^2}(x + a)\,dx \\ &= {1\over3a^2}\int_0^{2a} \left(2ax-x^2\right)\,dx + {2\over3a^2}\int_{-a}^0\left(x^2 + ax\right)\,dx \\ &= {1\over3a^2}\left[ax^2-{1\over3}x^3\right]_0^{2a} + {2\over3a^2}\left[{1\over3}x^3 + {1\over2}ax^2\right]_{-a}^0 \\ &= {1\over3a^2}\left(4a^3-{8a^3\over3}\right) + {2\over3a^2}\left(0-\left(-{a^3\over3} + {a^3\over2}\right)\right) \\ &= {1\over3}\left(4a-{8a\over3}\right) + {2\over3}\left({a\over3} - {a\over2}\right) \\ &= {a\over3}\left(4- {8\over3} + {2\over3} - 1\right) \\ &= {a\over3}\left(4- {6\over3} - 1\right) \\ &= {a\over3}\times(4 - 2 - 1) = {a\over3}.\\ \end{align}又, $Y = 2X + 7$ とするときは
\begin{align} E(Y) &= E(2X + 7) \\ &= 2E(X) + 7 \\ &= {2a\over3} + 7. \end{align}確率の問題というよりも寧ろ積分の問題。
大学では確率論は測度論 (積分論) の応用だから当然ではあるが。
数学 III の置換積分に慣れていると楽かもしれない。