2018 センター試験 数学 II・B 第一問 [1]

(1) アは 2.

(2) $144^\circ =\ds{144\over180}\pi = \ds{4\over5}\pi$.

$\ds{23\over12}\pi = \ds{23\times180^\circ\over12} = 345^\circ$.

(3) $x = \theta + \ds{\pi\over5}$
故に
$\theta + \ds{\pi\over30}$
$=\theta + \ds{\pi\over5} +\ds{\left({\pi\over30}-{6\over30}\pi\right)}$
$=\theta + \ds{\pi\over5} -\ds{{5\over30}\pi}$
$=x - \ds{\pi\over6}$.

$2\sin x - 2\cos\ds{\left(x - {\pi\over6}\right)}$
$=2\sin x - 2\ds{\left(\cos x \cos{\pi\over6} + \sin x \sin{\pi\over6}\right)}$
$=2\sin x - \ds{\sqrt{3}\cos x - \sin x}$
$=\sin x - \ds{\sqrt3}\cos x$
$=2\sin\ds{\left(x-{\pi\over3}\right)}$
故に
$\sin\ds{\left(x-{\pi\over3}\right)}=\ds{1\over2}$.

ここで $\ds{\pi\over2} \leqq\theta\leqq\pi$ より.
$\ds{{\pi\over2}+{\pi\over5}} \leqq x \leqq\pi+\ds{\pi\over5}$
即ち $\ds{{\pi\over6}+{\pi\over5}} \leqq x-\ds{\pi\over3} \leqq\ds{2\over3}\pi+\ds{\pi\over5}$.

よって $x-\ds{\pi\over3} =\ds{5\over6}\pi$.
$x= \ds{5\over6}\pi + \ds{2\over6}\pi = \ds{7\over6}\pi$.
即ち $\theta +\ds{\pi\over5} = \ds{7\over6}\pi$
$\theta=\ds{\left({7\over6}-{1\over5}\right)}\pi = \ds{35-6\over30}\pi = \ds{29\over30}\pi$.

範囲の決定が面倒なだけで, 難しくはないだろう。