[1] (1) $y' = 2px + q$ で $l$ の傾きは $2$ なので,
$y'_{x=1} = 2p + q = 2$
即ち $q = -2p + 2$.
$p + q + r = 1$ より
$r = 1 - p - q$
$= 1 - p + 2p -2$
$=p - 1$.
(2) 放物線が下に凸なので
\begin{align} S &= \int^v_1\left(px^2+(q-2)x + r + 1\right)\,dx \\ &= \int^v_1 (px^2 -2px + p)\,dx \\ &= p\int^v_1 (x^2 -2x + 1)\,dx \\ &= p\int^v_1 (x - 1)^2\,dx \\ &= {p\over3}\left[(x - 1)^3\right]_1^v \\ &= {p\over3}(v-1)^3 \\ &= {p\over3}\left(v^3-3v^2+3v - 1\right). \end{align}一方台形だから $T = \ds{1\over2}\ds{\left(1+ (2v - 1)\right)}(v - 1) = \ds{1\over2}\cdot2v(v-1) =v^2 - v$.
従って $U = S - T =\ds{p\over3}(v-1)^3 - (v^2-v)$.
$\ds{dU\over dv} = p(v - 1)^2 - (2v - 1)$.
$\ds{\left.dU\over dv\right|_{v=2}} =p - 3 = 0$ なので $p=3$.
\begin{align} \ds{dU\over dv} &= 3(v - 1)^2 - (2v - 1) \\ &= 3(v^2 - 2v + 1) - 2v + 1 \\ &= 3v^2 - 6v + 3 - 2v + 1 \\ &= 3v^2 - 8v + 4 \\ &= (3v - 2)(v - 2). \end{align}又
\begin{align} U &= (v - 1)^3 - v(v -1) \\ &= (v - 1)\left((v - 1)^2 - v\right) \\ &= (v - 1)(v^2 - 2v + 1 - v) \\ &= (v - 1)(v^2 - 3v + 1). \end{align}ここで $v^2 - 3v + 1 = 0$ と置くと
$$v={3\pm\sqrt{9-4}\over2} = {3\pm\sqrt5\over2}.$$$v_0 > 1$ より $v_0 = \ds{3+\sqrt5\over2}$.
$1 < v < v_0$ では $U < 0$ つまり ソ は 3.
$v = 2$ のとき最小値は $U = 4 - 6 + 1 = -1$.
[2] ツ は 7.
$f(2) \leqq 0$ なので, テ は 4.
高さは ($t > 1$ なので)
$\ds{\sqrt{\left(t^2+1\right)^2 + \left(t^2 - 1\right)^2}}$
$= \ds{\sqrt{t^4 +2t^2 + 1 - (t^4 - 2t^2 + 1)}}$
$= \ds{\sqrt{4t^2}}$
$= 2t$.
従って
$W = (t^2 - 1)\cdot2t = 2t^3 - 2t$.
故に $F(t) - F(1) = 2t - 2t^3$.
従って$f(t) = F'(t) = 2-6t^2 = -6t^2 + 2$.
教科書の演習問題程度。 難しくない。
途中で $\ds{dU\over dv}$ と $U$ を混同してしまい混乱してしまった。