(1) $S_n = \ds{{n\over2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)}$,
$a_4 = a_1 + 3d = 30$,
$S_8 = 4(2a_1 + 7d) = 288$ なので,
$2a_1 + 7d = 72$
これから $2a_4$ を引くと $d = 12$ を得る。
これを $a_4$ の式に代入して $a_1 + 36 = 30$. つまり $a_1 = -6$.
従って $S_n = \ds{{n\over2}\left(2\times(-6) + (n-1)\times6\right)} = n(6n-12) = 6n^2 - 12n$.
(2) 又 $b_n = br^{n-1}$ と置くと
$b_2 = br = 36$,
$T_3 = \ds{b(r^3 - 1)\over r-1} = 156$.
$r > 1$ より
$3(r^2 + r + 1) = 13r$
$3r^2 - 10r + 3 = 0$
$(3r-1)(r-3)=0$
$r > 1$ より $r = 3$.
$br = 36$ だったから $b = 12$.
よって $T_n = \ds{12(3^n - 1)\over2} = 6(3^n - 1)$.
(3) $d_n = S_{n+1} - T_{n+1}$
$= 6(n+1)^2 - 12(n+1) - 6(3^{n+1} -1)$
$= 6(n^2 + 2n + 1) - 12n - 12 - 6\cdot3^{n+1} + 6$
$= 6n^2 + 6 - 12 - 6\cdot3^{n+1} + 6$
$= 6n^2 - 2\cdot3^{n+2}$.
$c_1 = a_1 - b_1 = -6 - 12 = -18$.
$c_n = c_1 + \ds{\sum_{k=1}^{n-1} d_k}$
$= -18 + 6\times\ds{n(n-1)(2n-1)\over6}-2\times\ds{27(3^{n-1}-1)\over3-1}$
$= -18 + 2n^3 - 3n^2 + n - 27\cdot3^{n-1} + 27$
$= 2n^3 - 3n^2 + n + 9 - 3^{n+2}$.
難しくはないと思うのだが, $d_n = S_{n+1} - T_{n+1}$ の番号付けが間違い易い。