(1) $\vector{AB} = \vector{FB}- \vector{FA} = \vec q - \vec p$.
故に $\abs{\vector{AB}}^2 = \abs{\vec q - \vec p}^2 = \abs{\vec p}^2 - 2\vec
p\cdot\vec q + \abs{\vec q}^2$$\cdots\cdots\cdots$①.
(2) $\vector{FD} =\ds{3\vec p + \vec q\over1 + 3}=\ds{3\over4}\vec p + \ds{1\over4}\vec q$$\cdots\cdots\cdots$②.
(3)
$s\vec r = \ds{3\over4}\vec p + \ds{1\over4}\vec q$
故に
$4s\vec r= 3\vec p + \vec q$.
従って
$\vec q = -3\vec p + 4s\vec r$$\cdots\cdots\cdots$③.
$\vector{FE} = a\vec r + (1 - a)\vec q$.
故に
$t\vec p= a\vec r + (1 - a)\vec q$.
従って $\vec q = \ds{t\over 1 - a}\vec p - \ds{a\over 1- a}\vec
r$$\cdots\cdots\cdots$④.
③, ④ より
$\ds{t\over 1- a} = -3$,
$-\ds{a\over 1 - a} = 4s$.
従って
$s = \ds{-a\over 4(1-a)}$,
$t = -3(1 - a)$
(4)
$\abs{\vec p}= 1$ のとき
$\abs{\vector{AB}}^2 = 1 - 2\vec p\cdot\vec q + \abs{\vec q}^2$.
$\vector{BE}= \vector{FE} - \vector{FB} = t\vec p - \vec q = -3(1 - a)\vec p -\vec q$.
従って
$\abs{\vector{BE}}^2 = \abs{3(1 - a)\vec p +\vec q}^2$
$= 9(1 - a)^2 + 6(1-a)\vec p\cdot\vec q + \abs{\vec q}^2$.
以上より
$1 - 2\vec p\cdot\vec q + \abs{\vec q}^2 = 9(1 - a)^2 + 6(1-a)\vec p\cdot\vec q
+ \abs{\vec q}^2$
$\ds{\left(6(a-1)-2\right)}\vec p\cdot \vec q = 9(1-a)^2 - 1$
$(6a - 8)\vec p\cdot \vec q = 9(a^2 - 2a + 1) - 1$
$2(3a - 4)\vec p\cdot \vec q = 9a^2 - 18a + 8 = (3a - 4)(3a - 2)$.
$0 < a < 1$ だから $a\neq\ds{4\over3}$ なので $\vec p\cdot \vec q = \ds{3a-2\over2}$.
平面のベクトルなので難しくはないと思う。
最近空間の (3-dimension の) vector が出ないのは, もうセンター試験も終わることが分かっているからなのか, 空間の問題を作るのが難しいからなのか, どちらなのであろうか。