$a > 0$ より
\begin{align} f(x) &= a\left(x^2 - 2\left(1 + {3\over a}\right)x\right) - 3a + 21 \\ &= a\left(\left(x - \left(1 +{3\over a}\right)\right)^2 - \left(1 +{3\over a}\right)^2\right) - 3a + 21 \\ &= a\left(x - \left(1 +{3\over a}\right)\right)^2 - a\left(1 +{3\over a}\right)^2 - 3a + 21 \\ &= a\left(x - \left(1 +{3\over a}\right)\right)^2 - {1\over a}\left(a + 3\right)^2 - 3a + 21 \\ &= a\left(x - \left(1 +{3\over a}\right)\right)^2 - {1\over a}\left(a^2 + 6a + 9\right) - 3a + 21 \\ &= a\left(x - \left(1 +{3\over a}\right)\right)^2 - 4a + 15 - {9 \over a}. \end{align}従って頂点の $x$ 座標は $p = 1 + \ds{3\over a}$.
$a > 0$ より
$p = 1 + \ds{3\over a} > 1$ なので, $0 \leqq x \leqq 4$ で $f(4)$ が最小値となるのは $p \geqq
4$. つまり
$1 + \ds{3\over a} \geqq 4$
$\ds{3\over a}\geqq 3$
$3\geqq 3a$
つまり $a \leqq 1$. 元々の条件と合わせて $0 < a \leqq1$.
逆に $0 \leqq x \leqq 4$ で最小値 $f(p)$ となるのは $1 \leqq a$.
さて, $0 \leqq a \leqq1$ のとき
\begin{align} f(4) &=16a - 8(a + 3) - 3a + 21 \\ &= 16a - 8a - 24 - 3a + 21 \\ &= 5a - 3 = 1 \end{align}とすると $5a = 4$ 即ち $a = \ds{4\over5}$.
一方 $a \geqq1$ の時 $f(p) = -4a + 15 - \ds{9\over a} = 1$ とすると
$-4a^2 + 15a - 9 = a$
$4a^2 - 14a + 9 = 0$.
故に
$a = \ds{7 \pm\sqrt{49 - 36}\over4} = \ds{7 \pm\sqrt{13}\over4}$.
$a\geqq1$ なので $a = \ds{7 +\sqrt{13}\over4}$.
誘導通り解いていけば良い。 最大・最小値を場合分けして解いたことがないと少し戸惑うかもしれない。