(1) $f(0) = 3\sin^2 0+4\sin0\cos0-\cos^2 0 = -1$.
(2)
$\ds{f\left(\ds{\pi\over3}\right)} =
3\sin^2\ds{\pi\over3}+4\sin\ds{\pi\over3}\cos\ds{\pi\over3}-\cos^2\ds{\pi\over3}$.
$=3\times\ds{\sqrt{3}\over4}+4\times\ds{\sqrt{3}\over2}\times\ds{1\over2}-\ds{1\over4}$
$=\ds{9\over4}+\sqrt{3}-\ds{1\over4} = 2 + \sqrt3$.
(3) $\cos2\theta = 2\cos^2\theta -1$
$\therefore\cos^2\theta=\ds{\cos2\theta + 1\over2}$.
一方
$\cos2\theta＝1 - 2\sin^2\theta$
$\therefore\sin^2\theta = \ds{1 - \cos\theta\over2}$.
従って
$f(\theta) = \ds{3 - 3\cos2\theta\over2} + 2\sin2\theta - \ds{\cos2\theta + 1\over2}$
$= 2\sin2\theta + \ds{3 - 3\cos2\theta - \cos2\theta - 1\over2}$
$= 2\sin2\theta + \ds{2 - 4\cos2\theta\over2}$
$= 2\sin2\theta - 2\cos2\theta + 1$
$=2\sqrt{2}\sin\ds{\left(2\theta-\ds{\pi\over4}\right)} + 1$.
故に
$f(\theta) \leqq 2\sqrt{2} + 1 < 2\times1.42 + 1 = 2.84 + 1 = 3.84$.
$\therefore m = 3$.
$0 \leqq\theta\leqq\pi$ なので $0\leqq2\theta\leqq2\pi$
即ち
$-\ds{\pi\over4}\leqq2\theta-\ds{\pi\over4}\leqq2\pi-\ds{\pi\over4}$
この範囲で $f(\theta) = 2\sqrt{2}\sin\ds{\left(2\theta-\ds{\pi\over4}\right)} + 1 =
3$ とすると
$\sin\ds{\left(2\theta-\ds{\pi\over4}\right)} = \ds{2\over2\sqrt2} =
\ds{1\over\sqrt2}$.
即ち
$2\theta -\ds{\pi\over4} = \ds{\pi\over4}\pi$, $\ds{3\over4}\pi$.
$2\theta = \ds{\pi\over2},\ \pi$.
$\theta=\ds{\pi\over4},\ \ds{\pi\over2}$.
範囲の決定が面倒で公式を沢山使わなければならないが, 難しくはないだろう。