(1) $f'(x) = 3x^2 + 2px + q$.
$f'(-1) = 3 - 2p + q = 0$,
$f(-1) = -1 + p - q = 2$.
$f'(-1) + f(-1) = 2 - p = 2$
$\therefore p = 0$, $q = -3$.
従って
$f(x) = x^3 - 3x$.
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) =3（x - 1)(x + 1)$.
よって $f(1) = 1 - 3 = -2$ が極小。
(2) $y' = -2kx$ だから $y'_{x=a} = -2ak$.
従って直線 $l$ の方程式は
$y + ka^2 = -2ak(x - a)$
$y + ka^2 = -2akx + 2a^2 k$
$y = -2akx + a^2 k$.
ここで $y = 0$ とすると $2akx = a^2 k$.
$a > 0$, $k > 0$ より $x = \ds{a\over2}$.
$\ds{\int^a_0 kx^2\,dx} = \ds{k\over3}\ds{\left[x^3\right]_0^a}= \ds{k\over3}a^3$.
従って
$S=\ds{k\over3}a^3-\ds{1\over2}\times\ds{a\over2}\times\ds{\left(ka^2\right)}$
$=\ds{k\over3}a^3-\ds{k\over4}a^3 = \ds{4 - 3\over12}ka^3 = \ds{k\over12}a^3$.
(3) $-ka^2 = a^3 - 3a$ となるので
$ka^2 = 3a - a^3$
$k = \ds{3\over a} - a$.
$f'(b) = 3b^2 - 3$ なので直線 $l$ は
$y - (b^3 - 3b) = (3b^2 - 3)(x - b)$
$y - (b^3 - 3b) = 3(b^2 - 1)x - 3b^3 + 3b$
$y = 3(b^2 - 1)x - 3b^3 + 3b + b^3 - 3b$
$y = 3(b^2 - 1)x - 2b^3$
$g(x) = 3(b^2 - 1)x - 2b^3$ となるから
$f(x) - g(x)$
$= x^3 - 3x - 3(b^2 - 1)x + 2b^3$
$= x^3 - 3b^2 x + 2b^3$
$= (x - b)(x^2 + bx - 2b^2)$
$= (x - b)^2(x+2b)$.
従って $a = -2b$ なので $b = -\ds{a\over2}$.
よって $g(x) = 3\ds{\left(\ds{a^2\over4}-1\right)}x + \ds{a^3\over4}$.
これを $l$ と比較して $-2ak = 3\ds{\left(\ds{a^2\over4}-1\right)}$
$-2a\ds{\left(\ds{3\over a} - a\right)} = 3\ds{\left(\ds{a^2\over4}-1\right)}$
$-6 + 2a^2 = \ds{3\over4}a^2 - 3$
$-24 + 8a^2 = 3a^2 - 12$
$5a^2 = 12$
$a^2 = \ds{12\over5}$.
従って
\begin{align} S &= {k\over12}a^3 \\ &= {1\over12} \left({3\over a}- a\right)a^3 \\ &= {1\over12}(3－a^2)a^2 \\ &= {1\over12}\left(3 - {12\over5}\right)\times{12\over5} \\ &= {3\over12}\left(1 - {4\over5}\right)\times{12\over5} \\ &={3\over25}. \end{align}教科書の演習問題程度。 難しくない。