(1) $S_2 = 3 + 3\times4 = 3 + 12 = 15$,
$T_2 = -1 + S_1 = -1 + 3 = 2$.
(2) $S_n = \ds{3(4^n-1)\over4 - 1} = 4^n - 1$.
$T_n = -1 + \ds{\sum_{k=1}^{m-1}S_{k-1}}$
$= -1 + \ds{4(4^{n-1}-1)\over4 - 1} - (n - 1)$
$= -1 + \ds{4\over3}(4^{n-1} - 1) - n + 1$
$= \ds{1\over3}\cdot4^n - \ds{4\over3} - n$.
(3) $b_1 = a_1 + 2T_1 = -3 + 2\times(-1) = -5$.
$T_n = \ds{1\over3}\times4^n - n - \ds{4\over3}$ なので, $\ds{4^n\over3} = T_n +
n + \ds{4\over3}$. 又
$T_{n+1} = 4\cdot\ds{4^n\over3} - n - 1 - \ds{4\over3}$
$= 4\ds{\left(T_n + n + \ds{4\over3}\right)} - n - 1 - \ds{4\over3}$
$= 4T_n + 4n + \ds{16\over3} - n - 1 - \ds{4\over3}$
$= 4T_n + 3n - 1 + \ds{12\over3}$
$= 4T_n ＋3n + 3$.
又
$(n+1)b_{n+1} = a_{n+1} + 2T_{n+1}$
$= \ds{1\over n}(4(n+1)a_n + 8T_n) + 2T_{n+1}$
$= 4(n+1)\ds{a_n\over n} + \ds{8\over n}T_n + 2T_{n+1}$
$= 4(n+1)\ds{a_n\over n} + \ds{8\over n}T_n + 8T_n + 6n + 6$
$= 4(n+1)\ds{a_n\over n} + \ds{8 + 8n\over n}T_n + 6(n + 1)$
$= 4(n+1)\ds{a_n\over n} + \ds{8(n + 1)\over n}T_n + 6(n + 1)$
$b_{n+1} = \ds{4a_n\over n} +\ds{8\over n}T_n + 6$
$= \ds{4(a_n + 2T_n)\over n} + 6$
$= 4b_n + 6$.
$b_{n+1} + 2 = 4b_n + 8$
$b_{n+1} + 2 = 4(b_n + 2)$.
よって $b_n + 2 = 4^{n - 1}(b_1 + 2) = -3\times4^{n-1}$.
即ち $b_n = -3\times4^{n-1}- 2$.
さて又 $nb_n = a_n + 2T_n$ だったから
$a_n = nb_n - 2T_n$
$= n(-3\times4^{n-1}- 2) -2\ds{\left(\ds{1\over3}\times4^n - n -
\ds{4\over3}\right)}$
$= \ds{3n(-3\times4^{n-1}- 2)-2(4^n - 3n - 4) \over3}$
$= \ds{3(-3n)\times4^{n-1}- 6n - 8\times4^{n-1} + 6n + 8 \over3}$
$= \ds{-(9n+ 8)\times4^{n-1} + 8 \over3}$.
難しくはないと思う。 一寸 $b_n$ の漸化式を出すのが面倒。