(1) $\vec a\cdot\vec c = 0$ ⇔ $\vec a\perp\vec c$ なので
$\angle AOC = 90^\circ$
故に $\triangle OAC = \ds{\sqrt5\over2}$
(2) $\vector{BA}\cdot\vector{BC} =\ds{\left( \vec a - \vec
b\right)}\cdot\ds{\left(\vec c - \vec b\right)}$
$= \vec a\cdot\vec c - \vec a\cdot\vec b - \vec b\cdot\vec c + \abs{\vec b}^2$
$= 0 - 1 - 3 + 3 = -1$.
$\abs{\vector{BA}}^2 = \ds{\left(\vec a - \vec b\right)}\cdot\ds{\left(\vec a
- \vec b\right)}$
$=\abs{\vec a}^2 - 2\vec a\cdot\vec b + \abs{\vec b}^2$
$= 1 - 2 + 3 = 2$.
故に $\abs{\vector{BA}}=\sqrt2$.
$\abs{\vector{BC}} = \abs{\vec c - \vec b}^2$
$= \abs{\vec b}^2 - 2\vec b\cdot\vec c + \abs{\vec c}^2$
$= 3 - 2\times3 + 5 = 8 - 6 = 2$.
故に $\abs{\vector{BC}}=\sqrt2$.
従って $\cos\angle ABC = \ds{-1\over2}$ だから $\angle ABC = 120^\circ$.
$\angle BAD = \angle ADC = 60^\circ$.
$\vector{AD} = 2\vector{BC}$
$\vector{OD} = \vector{OA} + \vector{AD}$
$= \vec a + 2\vector{BC}$
$= \vec a + 2(\vec c - \vec b)$
$= \vec a - 2\vec b + 2\vec c$.
上の図から $\ds{1\over2}\ds{\left(\sqrt2 +2\sqrt2\right)}\times\ds{\sqrt6\over2} = \ds{3\sqrt2\times\sqrt6\over4}=\ds{3\sqrt3\over2}$.
(3) $\vector{BH}\perp\vec a$ より $\vector{BH}\cdot\vec a = 0$.
$\vector{BH} = \vector{OH} - \vector{OB}$
$= s\vec a - \vec b + t\vec c$.
従って
$\vector{BH}\cdot\vec a = s\abs{\vec a}^2 -\vec a\cdot\vec b + t\vec a\cdot\vec
c$
$= s - 1 = 0$. 故に $s = 1$.
又
$\vector{BH}\cdot\vec c = s\vec a\cdot\vec c -\vec b\cdot\vec c + t\abs{\vec
c}^2$
$= -3+ 5t = 0$. 故に $t = \ds{3\over5}$.
以上より
$\vector{BH} = \vec a - \vec b + \ds{3\over5}\vec c$.
$\abs{\vector{BH}}^2 = \abs{\vec a}^2 + \abs{\vec b}^2 +
\ds{9\over25}\abs{\vec c}^2 - 2\vec a\cdot\vec b - 2\times\ds{3\over5}\vec
b\cdot\vec c + \ds{6\over5}\vec a\cdot\vec c$
$= 1 + 3 + \ds{9\over5} - 2 - \ds{6\over5}\times3 + 0$
$= 2 + \ds{9\over5} - \ds{18\over5} = \ds{19 - 18\over5} = \ds{1\over5}$.
$\abs{\vector{BH}} = \ds{\sqrt5\over5}$
従って $V = \ds{1\over3}\times\ds{\sqrt5\over2}\times \ds{\sqrt5\over5} = \ds{1\over6}$.
(4)
$\triangle ABC = \ds{1\over2}\times\sqrt2\times\ds{\sqrt6\over2} =
\ds{\sqrt3\over2}$.
$\abs{\vector{AB}}^2 = 1 - 2\vec p\cdot\vec q + \abs{\vec q}^2$.
従って フ は
$\ds{\ \ds{3\sqrt3\over2}\ \over\ds{\sqrt3\over2}} =3$.
高さを $h$ とすると
$\ds{3\over6} = \ds{1\over3}h\times\ds{3\sqrt3\over2}$.
従って
$h = \ds{1\over3} = \ds{\sqrt3\over3}$.
平面のベクトルなので難しくはないと思う。
僕は余計で無駄な計算も沢山してしまった。