(1) 3 の倍数は 3, 6 だから, 赤い袋から赤い球が取り出されるのは
$\ds{4\over6}\times\ds{2\over3} = \ds{4\over9}$.
白い袋から赤い球が取り出されるのは
$\ds{2\over6}\times\ds{1\over2} = \ds{1\over6}$.
(2) (1) と同様に考えて
$\ds{2\over3}\times\ds{1\over3} + \ds{1\over3}\times\ds{1\over2}$
$=\ds{2\over9} + \ds{1\over6}$
$=\ds{4+3\over18}=\ds{7\over18}$.
(3) $\ds{1\over2}p + \ds{1\over3}(1-p)$
$= \ds{1\over2}p - \ds{1\over3}p +\ds{1\over3}$
$= \ds{1\over6}p+\ds{1\over3}$.
よって二回目で白球が取り出される確率は (2) より
$\ds{1\over6}\times\ds{7\over18}+\ds{1\over3}= \ds{7+ 36\over108} =
\ds{43\over108}$.
三回目で白球が取り出される確率は
$\ds{1\over6}\times\ds{43\over108}+\ds{1\over3}= \ds{43+ 216\over648} =
\ds{259\over648}$.
(4) $\ds{\ds{7\over18}\times\ds{1\over2}\over\ds{43\over108}} = \ds{7\times108\over18\times2\times43} = \ds{21\over43}$.
$\ds{\ds{\left(1-\ds{7\over18}\right)\times\ds{2\over3}\times\ds{1\over3}}\over\ds{259\over648}} = \ds{11\over18}\times\ds{2\times1\over3\times3}\times\ds{648\over259} = \ds{88\over259}$.
(3) は所謂 Marcov chain である。
最近, 条件付確率が頻出である。